Question

18．已知圓O的半徑為2，它的內(nèi)接三角形ABC滿足c²-a²=4（$\sqrt{3}$c-b）sinB，其中a，b，c分別為角A，B，C的對邊．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）求三角形ABC面積S的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意和正弦定理求出sinB，代入已知的式子化簡后，由余弦定理求出cosA，由內(nèi)角的范圍和特殊角的三角函數(shù)值求出A；
（Ⅱ）由條件和正弦定理求出a，由余弦定理和重要不等式求出bc的范圍，由三角形的面積公式求出三角形ABC面積S的最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵三角形ABC外接圓的半徑是2，
∴由正弦定理得，$\frac{sinB}=4$，則sinB=$\frac{4}$，
代入c²-a²=4（$\sqrt{3}$c-b）sinB得，
c²-a²=4（$\sqrt{3}$c-b）×$\frac{4}$=$\sqrt{3}$bc-b²，
即$^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}=\sqrt{3}bc$，
由余弦定理得，cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵0＜A＜π，∴A=$\frac{π}{6}$；
（Ⅱ）∵三角形ABC外接圓的半徑是2，
∴由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=4$，則a=4×$\frac{1}{2}$=2，
由余弦定理得，a²=b²+c²-2bccosA，
∴${4=b}^{2}+{c}^{2}-\sqrt{3}bc$≥（2-$\sqrt{3}$）bc，
解得bc≤$4（2+\sqrt{3}）$，當且僅當b=c時取等號，
∴三角形ABC面積S=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{4}bc≤2+\sqrt{3}$，
∴三角形ABC面積S的最大值是$2+\sqrt{3}$．

點評 本題考查正弦定理、余弦定理，三角形的面積公式，以及重要不等式在求最值中的應用，屬于中檔題．