Question

7．已知函數(shù)f（x）=|4x-a|+|4x+3|，g（x）=|x-1|-|2x|．
（1）解不等式g（x）＞-3；
（2）若存在x₁∈R，也存在x₂∈R，使得f（x₁）=g（x₂）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過討論x的范圍求出各個(gè)區(qū)間上的不等式的解集，取并集即可；
（2）因?yàn)榇嬖趚₁∈R，存在x₂∈R，使得f（x₁）=g（x₂）成立，所以{y|y=f（x），x∈R}∩{y|y=g（x），x∈R}≠∅，分別求出f（x），g（x）的范圍，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）由題意可得$g（x）=\left\{\begin{array}{l}1+x，x≤0\\ 1-3x，0＜x＜1\\-1-x，x≥1\end{array}\right.$
因?yàn)間（x）＞-3，
由函數(shù)圖象可得不等式的解為-4＜x＜2，
所以不等式的解集為{x|-4＜x＜2}．
（2）因?yàn)榇嬖趚₁∈R，存在x₂∈R，使得f（x₁）=g（x₂）成立，
所以{y|y=f（x），x∈R}∩{y|y=g（x），x∈R}≠∅，
又f（x）=|4x-a|+|4x+3|≥|（4x-a）+（4x+3）|=|a+3|，
由（1）可知g（x）_max=1，所以|a+3|≤1，解得-4≤a≤-2，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-4，-2]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解絕對(duì)值不等式問題，考查集合的包含關(guān)系，是一道中檔題．