分析 (Ⅰ)由橢圓可得動(dòng)點(diǎn)P(x,y)到F(0,1)的距離等于它到直線y=-1的距離,利用拋物線的定義,即可求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的方程;
(Ⅱ)①求出直線l的方程,與拋物線得方程x2+4$\sqrt{2}$x-10=0,求出|PQ|,點(diǎn)O到直線l的距離,即可求△OPQ的面積;
②求出N(x,y)的軌跡方程為 $y=\frac{x^2}{2}+\frac{4}{x^2}+2$,利用基本不等式可得結(jié)論.
解答 解:(Ⅰ)由題知,點(diǎn)M(x,y)到定點(diǎn)F(0,1)的距離等于它到定直線y=-1的距離,所以點(diǎn)M所在的曲線C是以F(0,1)為焦點(diǎn),以y=-1為準(zhǔn)線的拋物線…(2分)
∴曲線C的方程是:x2=4y…(3分)
(Ⅱ)由(1)有曲線C:$y=\frac{1}{4}{x^2}$,∴$y'=\frac{1}{2}x$…(4分)
①當(dāng)${x_0}=\sqrt{2}$時(shí),$P(\sqrt{2},\frac{1}{2})$,曲線C在點(diǎn)P的切線的斜率是 $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$,所以直線l的斜率$k=-\sqrt{2}$
∴$直線l的方程為:y=-\sqrt{2}x+\frac{5}{2}$…(5分)
設(shè)Q(x1,y1)
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=-\sqrt{2}x+\frac{5}{2}\\ y=\frac{1}{4}{x^2}\end{array}\right.$得方程${x^2}+4\sqrt{2}x-10=0$…(6分)
∴$x{\;}_0+{x_1}=-4\sqrt{2},{x_0}{x_1}=-10$,
$|{PQ}|=\sqrt{3}\sqrt{{{({{x_0}+{x_1}})}^2}-4{x_0}{x_1}}=6\sqrt{6}$
又點(diǎn)O到直線l的距離$d=\frac{{5\sqrt{3}}}{6}$
從而可得${S_{△OPQ}}=\frac{15}{2}\sqrt{2}$…(7分)
②由題有曲線C在點(diǎn)P的切線的斜率是$\frac{1}{2}{x_0}$,當(dāng)x0=0時(shí)不符合題意,∴x0≠0,
所以直線l的斜率$k=-\frac{2}{x_0}$,點(diǎn)$P({x_0},\frac{1}{4}{x_0}^2)$,∴$直線l的方程為:y-\frac{1}{4}{x_0}^2=-\frac{2}{x_0}(x-{x_0})$=1(8分)
設(shè)點(diǎn)Q(x1,y1),點(diǎn)N(x,y),有$\left\{\begin{array}{l}{y_0}=\frac{1}{4}{x_0}^2\\{y_1}=\frac{1}{4}{x_1}^2\\{x_0}+{x_1}=2x\end{array}\right.$
從而可得$\begin{array}{l}{y_0}-{y_1}=\frac{1}{4}{x_0}^2-\frac{1}{4}{x_1}^2=\frac{1}{4}({x_0}+{x_1})({x_0}-{x_1})=\frac{1}{2}x({x_0}-{x_1})\end{array}$,
∴$k=-\frac{2}{x_0}=\frac{{{y_0}-{y_1}}}{{{x_0}-{x_1}}}=\frac{1}{2}x$∴,${x_0}=-\frac{4}{x}$=2 ②
將②代入①消x0得:$y=\frac{x^2}{2}+\frac{4}{x^2}+2$,
∴N(x,y)的軌跡方程為 $y=\frac{x^2}{2}+\frac{4}{x^2}+2$…(10分)
∵點(diǎn)N(x,y)到x軸的距離為|y|,由軌跡方程知$y=\frac{x^2}{2}+\frac{4}{x^2}+2≥2\sqrt{2}+2$,
當(dāng)且僅當(dāng)x4=8時(shí)取等號(hào)∴點(diǎn)N到x軸的最短距離為$2\sqrt{2}+2$…(12分)
點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義與方程,考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用,考查直線與拋物線的位置關(guān)系,屬于難題.
年級(jí) | 高中課程 | 年級(jí) | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | $\sqrt{14}$ | B. | $\sqrt{15}$ | C. | 4 | D. | $\sqrt{17}$ |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | ($\frac{1}{3}$,+∞) | B. | (-∞,$\frac{1}{3}$) | C. | [$\frac{1}{3}$,+∞) | D. | (-∞,$\frac{1}{3}$] |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | ρ=8sin(θ-$\frac{π}{4}$) | B. | ρ=8cos(θ-$\frac{π}{4}$) | ||
C. | ρ2-4ρcos(θ-$\frac{π}{4}$)+3=0 | D. | ρ2-4ρsin(θ-$\frac{π}{4}$)+3=0 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | -$\sqrt{3}$,π | B. | -1,π | C. | -$\sqrt{3}$,2π | D. | -1,2π |
查看答案和解析>>
百度致信 - 練習(xí)冊(cè)列表 - 試題列表
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專(zhuān)區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專(zhuān)區(qū) | 涉歷史虛無(wú)主義有害信息舉報(bào)專(zhuān)區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專(zhuān)區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com