Question

12．已知圓C方程x²+y²-2x-4y+a=0，圓C與直線x+2y-4=0相交于A，B兩點(diǎn)，且OA⊥OB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則實(shí)數(shù)a的值為（　�。�

• A． $-\frac{4}{5}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{8}{5}$
• D． $\frac{1}{5}$

Answer 1

分析 將直線方程代入圓的方程，利用韋達(dá)定理，及以AB為直徑的圓過原點(diǎn)，可得關(guān)于a的方程，即可求解．

解答 解：由直線x+2y-4=0與圓x²+y²-2x-4y+a=0，消去y，得5x²-8x-16+4a=0①
設(shè)直線l和圓C的交點(diǎn)為A （x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁、x₂是①的兩個(gè)根．
∴x₁x₂=$\frac{4a-16}{5}$，x₁+x₂=$\frac{8}{5}$．             ②
由題意有：OA⊥OB，即x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x₁x₂+$\frac{1}{4}$（4-x₁）（4-x₂）=0，即$\frac{5}{4}$x₁x₂-（x₁+x₂）+4=0③
將②代入③得：a=$\frac{8}{5}$．
故選C．．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查直線與圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，屬于基本知識(shí)的考查與應(yīng)用．