Question

15．已知f（x）=ax³+bx²+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，1），且在x=1處的切線方程是y=x
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）求y=f（x）的極值．

Answer 1

分析 （1）求出c的值，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計算f′（1），得到關(guān)于a，b的方程組，求出函數(shù)的解析式即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可．

解答 解：（1）f（x）=ax³+bx²+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，1），則c=1，…（2分）
f′（x）=3ax²+2bx，k=f′（1）=3a+2b=1…（3分）
切點(diǎn)為（1，1），則f（x）=ax³+bx²+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，1）
得a+b+c=1，得a=1，b=-1…（5分），
故f（x）=x³-x²+1…（6分）
（2）${f^'}（x）=3{x^2}-2x＞0，得x＞\frac{2}{3}，x＜0$，
令${f^'}（x）=3{x^2}-2x＜0，得0＜x＜\frac{2}{3}$…（8分）
函數(shù)f（x）在$（{-∞，0}），（{\frac{2}{3}，+∞}）$單調(diào)遞增，在$（{0，\frac{2}{3}}）$單調(diào)遞減           …（9分）
所以函數(shù)f（x）在x=0取得極大值為1，在$x=\frac{2}{3}$取得極小值為$\frac{23}{27}$．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．