Question

2．已知函數(shù)f（x）=xe^x-$\frac{1}{2}$a（x+1）²（其中a∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)，e=2.718128…）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）討論函數(shù)f（x）極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）通過代入a=1可知f（x）=xe^x-$\frac{1}{2}$（x+1）²，進(jìn)而求導(dǎo)解不等式可得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）通過求導(dǎo)可知f′（x）=（x+1）（e^x-a），分a≤0、a＞0兩種情況討論即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=xe^x-$\frac{1}{2}$（x+1）²，
則f′（x）=e^x+xe^x-（x+1）=（x+1）（e^x-1），
由f′（x）=0，得x=-1或x=0．
列表得：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，0）	0	（0，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以f（x）的增區(qū)間為（-∞，-1），（0，+∞）；減區(qū)間為（-1，0）；
（2）求導(dǎo)可知f′（x）=e^x+xe^x-a（x+1）=（x+1）（e^x-a），
當(dāng)a≤0時(shí)e^x-a＞0，此時(shí)令f′（x）=0可知x=-1，
從而函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-1，+∞）、減區(qū)間為（-∞，-1），
此時(shí)f（x）有極小值點(diǎn)-1；
當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）=0，解得x=-1或x=lna．
①當(dāng)lna=-1即a=$\frac{1}{e}$時(shí)，則f′（x）≥0，即函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)，此時(shí)f（x）無極值點(diǎn)；
②當(dāng)lna＞-1即a＞$\frac{1}{e}$時(shí)，則由f′（x）＞0可知x＜-1或x＞lna，由f′（x）＜0可知-1＜x＜lna，
即函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-∞，-1），（lna，+∞）、減區(qū)間為（-1，lna），
此時(shí)f（x）有極大值點(diǎn)-1、極小值點(diǎn)lna；
③當(dāng)lna＜-1即0＜a＜$\frac{1}{e}$時(shí)，則由f′（x）＞0可知x＜lna或x＞-1，由f′（x）＜0可知lna＜x＜-1，
即函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-∞，lna），（-1，+∞）、減區(qū)間為（lna，-1），
此時(shí)f（x）有極大值點(diǎn)lna、極小值點(diǎn)-1；
綜上所述，當(dāng)a≤0時(shí)函數(shù)f（x）有一個(gè)極值點(diǎn)，當(dāng)a=$\frac{1}{e}$時(shí)函數(shù)f（x）沒有極值點(diǎn)，當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{e}$或a＞$\frac{1}{e}$時(shí)函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的思想，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．