Question

2．已知在邊長為4的等邊△ABC（如圖1所示）中，MN∥BC，E為BC的中點，連接AE交MN于點F，現(xiàn)將△AMN沿MN折起，使得平面AMN⊥平面MNCB（如圖2所示）．
（1）求證：平面ABC⊥平面AEF；
（2）若S_BCNM=3S_△AMN，求直線AB與平面ANC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出AE⊥BC，AF⊥MN，MN⊥EF，從而MN⊥平面AEF，進而BC⊥平面AEF，由此能證明平面ABC⊥平面AEF．
（2）由S_{四邊形BCNM}=3S_△AMN，得${S}_{△AMN}=\frac{1}{4}{S}_{△ADC}$，以F為原點，F(xiàn)E，F(xiàn)N，F(xiàn)A分別為x，y，z軸，建立空間直角系，利用向量法能求出直線AB與平面ANC所成角的正弦值．

解答 證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，E為BC的中點，
∴AE⊥BC，
∵MN∥BC，∴AF⊥MN，MN⊥EF，
又AF∩FE=F，∴MN⊥平面AEF，
∵BC∥MN，∴BC⊥平面AEF，
∵BC?平面ABC，∴平面ABC⊥平面AEF．
解：（2）由S_{四邊形BCNM}=3S_△AMN，得${S}_{△AMN}=\frac{1}{4}{S}_{△ADC}$，
∵△ABC∽△AMN，且MN∥BC，
∴（$\frac{MN}{BC}$）²=$\frac{1}{4}$，∴MN=$\frac{1}{2}BC=2$，
以F為原點，F(xiàn)E，F(xiàn)N，F(xiàn)A分別為x，y，z軸，建立空間直角系，
則F（0，0，0），A（0，0，$\sqrt{3}$），B（$\sqrt{3}，-2，0$），N（0，1，0），C（$\sqrt{3}，2，0$），
$\overrightarrow{AN}$=（0，1，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AC}$=（$\sqrt{3}，2，-\sqrt{3}$），
設(shè)平面ANC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AN}•\overrightarrow{n}=y-\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{n}=\sqrt{3}x+2y-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（-1，$\sqrt{3}$，1），
$\overrightarrow{AB}$=（$\sqrt{3}，-2，-\sqrt{3}$），
設(shè)直線AB與平面ANC所成的角為α，
則sinα=$\frac{|\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2\sqrt{6}}{5}$，
∴直線AB與平面ANC所成角的正弦值為$\frac{2\sqrt{6}}{5}$．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查推理論證能力、運算求解能力，考查等價轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查空間想象能力，是中檔題．