5．二維形式的柯西不等式：若a，b，c，d都是實數(shù)，則（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，當且僅當ad=bc時取等號．
（1）證明二維形式的柯西不等式；
（2）利用柯西不等式，求函數(shù)y=3$\sqrt{x-1}$+$\sqrt{20-4x}$的最大值．

分析 （1）用作差比較法證明（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2成立．
（2）利用柯西不等式求得y=3$\sqrt{x-1}$+$\sqrt{20-4x}$=3$\sqrt{x-1}$+2$\sqrt{5-x}$≤$\sqrt{（9+4）（x-1+5-x）}$=2$\sqrt{13}$，可得函數(shù)y=3$\sqrt{x-1}$+$\sqrt{20-4x}$的最大值．

解答 （1）證明：∵（a2+b2）（c2+d2）-（ac+bd）2 =a2d2-2adbc+b2c2=（ad-bc）2≥0，
∴（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2成立，當且僅當ad=bc時取得等號．
（2）解：y=3$\sqrt{x-1}$+$\sqrt{20-4x}$=3$\sqrt{x-1}$+2$\sqrt{5-x}$≤$\sqrt{（9+4）（x-1+5-x）}$=2$\sqrt{13}$，
∴函數(shù)y=3$\sqrt{x-1}$+$\sqrt{20-4x}$的最大值為2$\sqrt{13}$．

點評 本題主要考查用作差比較法證明不等式，柯西不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

20．若向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{10}$，$\overrightarrow$=（-2，1），$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=5，則$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為（　�。�
A．90°B．60°C．45°D．30°

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16．某校為了了解高三學生日平均睡眠時間（單位：h），隨機選擇了50位學生進行調(diào)查．下表是這50位同學睡眠時間的頻率分布表：（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，求眾數(shù)和中位數(shù)；（2）現(xiàn)根據(jù)如下算法流程圖用計算機統(tǒng)計平均睡眠時間，則判斷框①中應(yīng)填入什么條件？（3）若從第1組和第5組中隨機取出2個數(shù)據(jù)，求相應(yīng)的兩個同學的睡眠時間差的絕對值大于1小時的概率
組別（i）睡眠時間組中值（Zi）頻數(shù)頻率（Pi）
1[4.5，5.5）520.04
2[5.5，6.5）660.12
3[6.5，7.5）7200.40
4[7.5，8.5）8180.36
5[8.5，9.5）930.06
6[9.5，10.5）1010.02

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13．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}x+1，x≤1}\\{lnx，x＞1}\end{array}\right.$，若方程f（x）-ax=0恰有兩個不同的根，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�
A．（0，$\frac{1}{3}$）B．[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{e}$）C．（$\frac{1}{e}$，$\frac{4}{3}$]D．（-∞，0]∪[$\frac{4}{3}$，+∞）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

20．已知a，b，c，m，n，p都是實數(shù)，且a2+b2+c2=1，m2+n2+p2=1．
（Ⅰ）證明|am+bn+cp|≤1；
（Ⅱ）若abc≠0，證明$\frac{{m}^{4}}{{a}^{2}}$+$\frac{{n}^{4}}{^{2}}$+$\frac{{p}^{4}}{{c}^{2}}$≥1．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

10．已知拋物線C：y2=6x的焦點為F，點A（0，m），m＞0，射線FA于拋物線C交于點M，與其準線交于點N，若|
MN|=2|FM|，則m=3．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

17．在△ABC中，三邊長分別為a=2，b=3，c=4，則$\frac{sin2A}{sinB}$=$\frac{7}{6}$．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

14．已知向量$\overrightarrow a=（cos（\frac{π}{3}+α），1）$，$\overrightarrow b=（1，4）$，如果$\overrightarrow a$∥$\overrightarrow b$，那么$cos（\frac{π}{3}-2α）$的值為$\frac{7}{8}$．

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15．設(shè)函數(shù)$f（x）=（{{x^2}-2x}）lnx+（{a-\frac{1}{2}}）{x^2}+2（{1-a}）x+a$．
（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）當a＜-2時，討論f（x）的零點個數(shù)．

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