Question

14．已知向量$\overrightarrow a=（cos（\frac{π}{3}+α），1）$，$\overrightarrow b=（1，4）$，如果$\overrightarrow a$∥$\overrightarrow b$，那么$cos（\frac{π}{3}-2α）$的值為$\frac{7}{8}$．

Answer 1

分析 利用兩個(gè)向量共線的性質(zhì)，誘導(dǎo)公式，求得sin（$\frac{π}{6}$-α）的值，再利用二倍角公式求得 $cos（\frac{π}{3}-2α）$=1-2${sin}^{2}（\frac{π}{6}-α）$ 的值．

解答 解：∵向量$\overrightarrow a=（cos（\frac{π}{3}+α），1）$，$\overrightarrow b=（1，4）$，$\overrightarrow a$∥$\overrightarrow b$，
∴cos（$\frac{π}{3}$+α）•4-1•1=0，求得cos（$\frac{π}{3}$+α）=$\frac{1}{4}$，
即sin（$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{3}$-α）=$\frac{1}{4}$，即sin（$\frac{π}{6}$-α）=$\frac{1}{4}$，
∴$cos（\frac{π}{3}-2α）$=1-2${sin}^{2}（\frac{π}{6}-α）$=1-2•$\frac{1}{16}$=$\frac{7}{8}$，
故答案為：$\frac{7}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量共線的性質(zhì)，誘導(dǎo)公式，二倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．