Question

16．已知函數(shù)f（x）定義域為R，若存在常數(shù)f（x），使$|f（x）|≤\frac{k}{2017}|x|$對所有實數(shù)都成立，則稱函數(shù)f（x）為“期望函數(shù)”，給出下列函數(shù)：
①f（x）=x²②f（x）=xe^x③$f（x）=\frac{x}{{{x^2}-x+1}}$④$f（x）=\frac{x}{{{e^x}+1}}$
其中函數(shù)f（x）為“期望函數(shù)”的是③④．（寫出所有正確選項的序號）

Answer 1

分析 ①：假設(shè)函數(shù)f（x）為“期望函數(shù)“，則|f（x）|=x²≤$\frac{k}{2017}$|x|，當(dāng)x=0時，k∈R，x≠0時，化為k≥2017|x|，因此不存在k＞0，使得x≠0成立，因此假設(shè)不正確，
②：同理①可判定；
對于③：假設(shè)函數(shù)f（x）為“期望函數(shù)“，則則|f（x）|=$\frac{|x|}{{x}^{2}-x+1}≤\frac{k}{2017}|x|$，當(dāng)x=0時，k∈R，x≠0時，化為k≥2017×$\frac{1}{{x}^{2}-x+1}$=$\frac{2017}{（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}}$，k≥$\frac{8064}{3}$．存在常數(shù)k＞0，使$|f（x）|≤\frac{k}{2017}|x|$對所有實數(shù)都成立；
對于④，同理③可判定；

解答 解：對于①：假設(shè)函數(shù)f（x）為“期望函數(shù)“，則|f（x）|=x²≤$\frac{k}{2017}$|x|，
當(dāng)x=0時，k∈R，x≠0時，化為k≥2017|x|，因此不存在k＞0，使得x≠0成立，因此假設(shè)不正確，即函數(shù)f（x）不是“期望函數(shù)”；
對于②：同理①可得②也不是“期望函數(shù)”；
對于③：假設(shè)函數(shù)f（x）為“期望函數(shù)“，則則|f（x）|=$\frac{|x|}{{x}^{2}-x+1}≤\frac{k}{2017}|x|$，
當(dāng)x=0時，k∈R，x≠0時，化為k≥2017×$\frac{1}{{x}^{2}-x+1}$=$\frac{2017}{（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}}$，∴k≥$\frac{8064}{3}$．∴存在常數(shù)k＞0，使$|f（x）|≤\frac{k}{2017}|x|$對所有實數(shù)都成立，∴③是“期望函數(shù)”；
對于④，假設(shè)函數(shù)f（x）為“期望函數(shù)“，則|f（x）|=$\frac{|x|}{{e}^{x}+1}≤\frac{k}{2017}|x|$，
當(dāng)x=0時，k∈R，x≠0時，化為k≥2017×$\frac{1}{{e}^{x}+1}$，k≥2017，．∴存在常數(shù)k＞0，使$|f（x）|≤\frac{k}{2017}|x|$對所有實數(shù)都成立，∴④是“期望函數(shù)”；
故答案為：③④．

點評 本題考查了新定義函數(shù)、分類討論方法、函數(shù)的單調(diào)性及其最值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．