7.已知函數(shù)f(x)=(x-1)2-$\frac{x}{e^x}$.
(Ⅰ)求函數(shù)的單調區(qū)間;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)有兩個零點x1,x2,證明x1+x2>2.

分析 (Ⅰ)求出導函數(shù),求出極值點,判斷導函數(shù)的符號,推出函數(shù)的單調性即可.
(Ⅱ)不妨設x1<x2,推出0<x1<1,x2>1.2-x2<1,利用函數(shù)f(x)在(-∞,1)上單調遞減,得到x1>2-x2,轉化為:0=f(x1)<f(2-x2).求出$f(2-{x_2})={(1-{x_2})^2}-\frac{{2-{x_2}}}{{{e^{2-{x_2}}}}}$,構造函數(shù)設g(x)=xe2-x-(2-x)ex,再利用形式的導數(shù),求出函數(shù)的最值,轉化求解即可.

解答 (本小題滿分12分)
解:(Ⅰ)$f'(x)=2(x-1)-\frac{1-x}{e^x}=(x-1)({2+\frac{1}{e^x}})$,…(2分)
f'(x)=0⇒x=1,當x∈(-∞,1)時,f'(x)<0;當x∈(1,+∞)時,f'(x)>0.
所以函數(shù)f(x)在(-∞,1)上單調遞增.…(4分)
(Ⅱ)證明:$f(1)=-\frac{1}{e}<0$,f(0)=1,不妨設x1<x2,
又由(Ⅰ)可知0<x1<1,x2>1.2-x2<1,
又函數(shù)f(x)在(-∞,1)上單調遞減,
所以x1+x2>2?x1>2-x2等價于f(x1)<f(2-x2),
即0=f(x1)<f(2-x2).…(6分)
又$f(2-{x_2})={(1-{x_2})^2}-\frac{{2-{x_2}}}{{{e^{2-{x_2}}}}}$,而$f({x_2})={({x_2}-1)^2}-\frac{x_2}{{{e^{x_2}}}}=0$,
所以$f(2-{x_2})=\frac{x_2}{{{e^{x_2}}}}-\frac{{2-{x_2}}}{{{e^{2-{x_2}}}}}=\frac{{{x_2}{e^{2-{x_2}}}-(2-{x_2}){e^{x_2}}}}{{{e^{x_2}}{e^{2-{x_2}}}}}$,…(8分)
設g(x)=xe2-x-(2-x)ex,則g'(x)=(1-x)(e2-x-ex).…(10分)
當x∈(1,+∞)時g'(x)>0,而g(1)=0,故當x>1時,g(x)>0.
而${e^{x_2}}{e^{2-{x_2}}}>0$恒成立,
所以當x>1時,$f(2-{x_2})=\frac{x_2}{{{e^{x_2}}}}-\frac{{2-{x_2}}}{{{e^{2-{x_2}}}}}=\frac{{{x_2}{e^{2-{x_2}}}-(2-{x_2}){e^{x_2}}}}{{{e^{x_2}}{e^{2-{x_2}}}}}>0$,
故x1+x2>2.…(12分)

點評 本題考查函數(shù)的導數(shù)的應用,函數(shù)的單調性以及函數(shù)的最值的求法,考查構造法以及形式的導數(shù)的應用,考查轉化思想以及計算能力.

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成績人數(shù)
A9
B12
C31
D22
E6
根據以上抽樣調查數(shù)據,視頻率為概率.
(1)若該校高二年級共有1000名學生,試估算該校高二年級學生獲得成績?yōu)锽的人數(shù);
(2)若等級A、B、C、D、E分別對應100分、80分、60分、40分、20分,學校要求“平均分達60分以上”為“教學達標”,請問該校高二年級此階段教學是否達標?
(3)為更深入了解教學情況,將成績等級為A、B的學生中,按分層抽樣抽取7人,再從中任意抽取2名,求恰好抽到1名成績?yōu)锳的概率.

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