分析 (Ⅰ)求出導函數(shù),求出極值點,判斷導函數(shù)的符號,推出函數(shù)的單調性即可.
(Ⅱ)不妨設x1<x2,推出0<x1<1,x2>1.2-x2<1,利用函數(shù)f(x)在(-∞,1)上單調遞減,得到x1>2-x2,轉化為:0=f(x1)<f(2-x2).求出$f(2-{x_2})={(1-{x_2})^2}-\frac{{2-{x_2}}}{{{e^{2-{x_2}}}}}$,構造函數(shù)設g(x)=xe2-x-(2-x)ex,再利用形式的導數(shù),求出函數(shù)的最值,轉化求解即可.
解答 (本小題滿分12分)
解:(Ⅰ)$f'(x)=2(x-1)-\frac{1-x}{e^x}=(x-1)({2+\frac{1}{e^x}})$,…(2分)
f'(x)=0⇒x=1,當x∈(-∞,1)時,f'(x)<0;當x∈(1,+∞)時,f'(x)>0.
所以函數(shù)f(x)在(-∞,1)上單調遞增.…(4分)
(Ⅱ)證明:$f(1)=-\frac{1}{e}<0$,f(0)=1,不妨設x1<x2,
又由(Ⅰ)可知0<x1<1,x2>1.2-x2<1,
又函數(shù)f(x)在(-∞,1)上單調遞減,
所以x1+x2>2?x1>2-x2等價于f(x1)<f(2-x2),
即0=f(x1)<f(2-x2).…(6分)
又$f(2-{x_2})={(1-{x_2})^2}-\frac{{2-{x_2}}}{{{e^{2-{x_2}}}}}$,而$f({x_2})={({x_2}-1)^2}-\frac{x_2}{{{e^{x_2}}}}=0$,
所以$f(2-{x_2})=\frac{x_2}{{{e^{x_2}}}}-\frac{{2-{x_2}}}{{{e^{2-{x_2}}}}}=\frac{{{x_2}{e^{2-{x_2}}}-(2-{x_2}){e^{x_2}}}}{{{e^{x_2}}{e^{2-{x_2}}}}}$,…(8分)
設g(x)=xe2-x-(2-x)ex,則g'(x)=(1-x)(e2-x-ex).…(10分)
當x∈(1,+∞)時g'(x)>0,而g(1)=0,故當x>1時,g(x)>0.
而${e^{x_2}}{e^{2-{x_2}}}>0$恒成立,
所以當x>1時,$f(2-{x_2})=\frac{x_2}{{{e^{x_2}}}}-\frac{{2-{x_2}}}{{{e^{2-{x_2}}}}}=\frac{{{x_2}{e^{2-{x_2}}}-(2-{x_2}){e^{x_2}}}}{{{e^{x_2}}{e^{2-{x_2}}}}}>0$,
故x1+x2>2.…(12分)
點評 本題考查函數(shù)的導數(shù)的應用,函數(shù)的單調性以及函數(shù)的最值的求法,考查構造法以及形式的導數(shù)的應用,考查轉化思想以及計算能力.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
成績 | 人數(shù) |
A | 9 |
B | 12 |
C | 31 |
D | 22 |
E | 6 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | ?x0∈R,使得$x_0^2≤{e^{x_0}}$ | B. | ?x0∈R,使得$x_0^2≤{e^{x_0}}$ | ||
C. | ?x0∈R,使得$x_0^2>{e^{x_0}}$ | D. | ?x0∈R,使得$x_0^2>{e^{x_0}}$ |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 3 | B. | 1 | C. | ±3 | D. | -3 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | {1} | B. | {0,1} | C. | {0,1,2,3} | D. | {0,1,2,3,4} |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網違法和不良信息舉報平臺 | 網上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com