Question

6．如圖，四棱錐P-ABCD中，BC∥AD，BC=1，AD=2，AC⊥CD，且平面PCD⊥平面ABCD．
（1）求證：AC⊥PD；
（2）在線段PA上是否存在點(diǎn)E，使BE∥平面PCD？若存在，確定點(diǎn)E的位置，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用面面垂直的性質(zhì)定理證明AC⊥平面PCD，即可證明AC⊥PD；
（2）當(dāng)點(diǎn)E是線段PA的中點(diǎn)時(shí)，BE∥平面PCD．利用已知條件，得到四邊形BCFE為平行四邊形，再利用線面平行的判定定理即可證明．

解答 證明：（1）連接AC，
∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，AC⊥CD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥平面PCD，…（4分）
∵PD?平面PCD，所以AC⊥PD．…（5分）
（2）當(dāng)點(diǎn)E是線段PA的中點(diǎn)時(shí)，BE∥平面PCD．…（6分）
證明如下：分別取AP，PD的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連接BE，EF，CF．則EF為△PAD的中位線，
所以EF∥AD，且$EF=\frac{1}{2}AD=1$，
又BC∥AD，所以BC∥EF，且BC=EF，
所以四邊形BCFE是平行四邊形，所以BE∥CF，…（10分）
又因?yàn)锽E?平面PCD，CF?平面PCD
所以BE∥平面PCD．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 熟練掌握面面垂直的性質(zhì)定理、平行線分線段成比例定理在三角形中的應(yīng)用、平行四邊形的判定和性質(zhì)定理、線面平行的判定定理是解題的關(guān)鍵．