Question

8．已知“若點P（x₀，y₀）在雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）上，則C在點P處的切線方程為$\frac{{{x_0}x}}{a^2}-\frac{{{y_0}y}}{b^2}$=1”．現(xiàn)已知雙曲線C：$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}$=1和點Q（1，t）（t≠±$\sqrt{3}$），過點Q作雙曲線C的兩條切線，切點分別為M，N，則直線MN過定點（　　）

• A． $（0，2\sqrt{3}）$
• B． $（0，-2\sqrt{3}）$
• C． （4，0）
• D． （-4，0）

Answer 1

分析 由雙曲線的切線方程$\frac{x}{4}-\frac{ty}{12}=1$，整理得：3x-4y=12，將M，N坐標代入雙曲線及切線方程，利用作差法即可求得直線方程的斜率，代入（2）即可求得x₁，即可求得直線MN方程y=$\frac{3}{t}$（x-4），即可求得直線MN過定點（4，0）．

解答 解：設(shè)點Q（1，t）（t≠±$\sqrt{3}$），在雙曲線線C：$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}$=1的切點M、N的坐標為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
直線MN的方程可表示為y-y₁=k（x-x₁），根據(jù)題意，切線方程為：$\frac{x}{4}-\frac{ty}{12}=1$，整理得：3x-4y=12，
∵為切點在切線和雙曲線上，
$\left\{\begin{array}{l}{3{x}_{1}^{2}-{y}_{1}^{2}=12}&{（1）}\\{3{x}_{1}-t{y}_{1}=12}&{（2）}\\{3{x}_{2}^{2}-{y}_{2}^{2}=12}&{（3）}\\{3{x}_{2}-t{y}_{2}=12}&{（4）}\end{array}\right.$，
（2）-（4）得$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{3}{t}$=k，①
∴由（2）x₁=$\frac{12+ty}{3}$，②
將①，②帶入直線MN的方程，y=$\frac{3}{t}$（x-4），
直線MN過定點（4，0），
故選C．

點評 本題考查雙曲線的標準方程及切線方程，考查直線的斜率的求法，考查計算能力，屬于中檔題．