Question

8．已知三棱臺(tái)ABC-A₁B₁C₁中，平面BB₁C₁C⊥平面ABC，∠ACB=90°，BB₁=CC₁=B₁C₁=2，BC=4，AC=6
（1）求證：BC₁⊥平面AA₁C₁C
（2）點(diǎn)D是B₁C₁的中點(diǎn)，求二面角A₁-BD-B₁的余弦值．

Answer 1

分析 （1）證明BC₁⊥CC₁，BC₁⊥AC，即可證明BC₁⊥平面AA₁C₁C
（2）以CA，CB所在直線分別為x軸，y軸，點(diǎn)C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，即可求二面角A₁-BD-B₁的余弦值．

解答 （1）證明：梯形BB₁C₁C中，BB₁=CC₁=B₁C₁=2，BC=4得：$∠{C}_{1}CB=60°，B{C}_{1}=2\sqrt{3}$，從而B(niǎo)C₁⊥CC₁，
因?yàn)槠矫鍮B₁C₁C⊥平面ABC，且AC⊥BC，
所以AC⊥平面BB₁C₁C，因此BC₁⊥AC，
因?yàn)锳C∩CC₁=C，所以BC₁⊥平面AA₁C₁C；
（2）解：如圖，以CA，CB所在直線分別為x軸，y軸，點(diǎn)C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則A（6，0，0），B（0，4，0），C（0，0，0），C₁（0，1，$\sqrt{3}$），B₁（0，3，$\sqrt{3}$），D（0，2，$\sqrt{3}$），A₁（3，1，$\sqrt{3}$），
平面BB₁D的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），設(shè)平面AB₁D的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{3x-y=0}\\{2y-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，
令z=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$（$\frac{1}{2}，\frac{3}{2}$，$\sqrt{3}$），
所以所求二面角的余弦值是-$\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{9}{4}+3}}$=-$\frac{\sqrt{22}}{22}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的判定，考查二面角A₁-BD-B₁的余弦值，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，屬于中檔題．