Question

19．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}12ax+1，0＜x＜a\\{log_{\frac{1}{2}}}x+2，a≤x＜1\end{array}$且f（a²）=$\frac{5}{2}$，若當(dāng)0＜x₁＜x₂＜1時(shí)，f（x₁）=f（x₂），則x₁•f（x₂）的取值范圍為（　�。�

• A． $（\frac{1}{6}，\frac{1}{3}]$
• B． $（\frac{1}{3}，1]$
• C． $[\frac{1}{6}，\frac{1}{3}）$
• D． $[\frac{1}{3}，1）$

Answer 1

分析 先根據(jù)函數(shù)的解析式和f（a²）=$\frac{5}{2}$，求出a的值，再畫出f（x）的圖象，結(jié)合圖象和f（x₁）=f（x₂），求出x₁的范圍和f（x₂）的范圍，問題得以解決．

解答 解：∵0＜a＜1，
∴a²＜a
∵f（a²）=$\frac{5}{2}$，
∴12a•a²+1=$\frac{5}{2}$
解得a=$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{6x+1，0＜x＜\frac{1}{2}}\\{lo{g}_{\frac{1}{2}}x+2，\frac{1}{2}≤x＜1}\end{array}\right.$，
畫出函數(shù)f（x）的圖象，如圖所示，
∵0＜x₁＜x₂＜1時(shí)，f（x₁）=f（x₂），
∴當(dāng)x=1時(shí)，f（1）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$1+2=2，
∴6x+1=2，解得x=$\frac{1}{6}$，
當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)，f（$\frac{1}{2}$）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1}{2}$+2=3，
∴6x+1=3，解得x=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{1}{6}$＜x₁＜≤$\frac{1}{3}$，2＜f（x₂）≤3，
∴$\frac{1}{3}$＜x₁•f（x₂）≤1，
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分段函數(shù)和函數(shù)圖象應(yīng)用以及不等式的性質(zhì)，關(guān)鍵是求出a的值，畫出函數(shù)的圖象，屬于中檔題