Question

9．已知圓x²+y²=8內(nèi)一點M（-1，2），AB為過點M且傾斜角為α的弦．
（Ⅰ）當(dāng)$α=\frac{3π}{4}$時，求AB的長；
（Ⅱ）當(dāng)弦AB被點M平分時，求直線AB的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依題意直線AB的斜率為-1，可得直線AB的方程，根據(jù)圓心0（0，0）到直線AB的距離，由弦長公式求得AB的長．
（Ⅱ）當(dāng)弦AB被點M平分時，OM⊥AB，故AB 的斜率為$\frac{1}{2}$，根據(jù)點斜式方程直線AB的方程．

解答 解：（Ⅰ） 當(dāng)$α=\frac{3}{4}π$時，直線AB的方程為：y-2=-（x+1）⇒x+y-1=0
設(shè)圓心到直線AB的距離為d，則$d=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
∴$|{AB}|=2\sqrt{{r^2}-{d^2}}=\sqrt{30}$；
（Ⅱ）當(dāng)弦AB被點M平分時，OM⊥AB．
因為K_OM=-2，可得${K_{AB}}=\frac{1}{2}$，故直線AB的方程為：$y-2=\frac{1}{2}（{x+1}）$
即x-2y+5=0．

點評 本題考查用點斜式求直線方程，點到直線的距離公式，弦長公式的應(yīng)用，求出圓心0（0，0）到直線AB的距離為d，是解題的關(guān)鍵．