Question

16．若函數(shù)y=sinωx能夠在某個長度為1的閉區(qū)間上至少兩次獲得最大值1，且在區(qū)間$[-\frac{π}{16}，\frac{π}{15}]$上為增函數(shù)，則正整數(shù)ω的值為8．

Answer 1

分析 根據(jù)正弦函數(shù)y=sinωx可知圖象過（0，0），求出周期T，根據(jù)長度為1的閉區(qū)間上至少兩次獲得最大值1，建立關(guān)系，在結(jié)合在區(qū)間$[-\frac{π}{16}，\frac{π}{15}]$上為增函數(shù)，可得正整數(shù)ω的值．

解答 解：由題意函數(shù)y=sinωx圖象過（0，0），
其周期T=$\frac{2π}{ω}$，
要使長度為1的閉區(qū)間上至少兩次獲得最大值1，則有T$+\frac{1}{4}T≤1$，即$\frac{2π}{ω}+\frac{π}{2ω}≤1$，
解得：ω$≥\frac{5π}{2}$，
∵在區(qū)間$[-\frac{π}{16}，\frac{π}{15}]$上為增函數(shù)，
∴$2kπ-\frac{π}{2}≤-\frac{πω}{16}$且$2kπ+\frac{π}{2}≥\frac{ωπ}{15}$，k∈Z，
解得：8-32k≥ω且30k+7.5≤ω，
當(dāng)k=0時，可同時滿足，此時ω正整數(shù)值為8．
故答案為8．

點評 本題考查三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)的綜合運用能力，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．