【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,E是PC的中點(diǎn),底面ABCD為矩形,AB=4,AD=2,PA=PD,且平面PAD⊥平面ABCD,平面ABE與棱PD交于點(diǎn)F.
(1)求證:EF∥平面PAB;
(2)若PB與平面ABCD所成角的正弦值為,求二面角P-AE-B的余弦值.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】
(1)利用AB∥平面PCD,可得AB∥EF,即可證明;(2)取AD中點(diǎn)O,連結(jié)OP,以O為原點(diǎn),OA為x軸,在平面ABCD中,過O作AB的平行線為y軸,以OP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角P-AE-B的余弦值.
(1)矩形ABCD中,AB∥CD,
∵AB面PCD,CD平面PCD,
∴AB∥平面PCD,
又AB平面ABE,
平面PCD∩平面ABE=EF,
∴AB∥EF,
∵EF面PAB,AB平面PAB,
∴EF∥平面PAB.
(2)取AD中點(diǎn)O,連結(jié)OP,
∵在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,AB=4,AD=2,PA=PD,且平面PAD⊥平面ABCD,
∴PO⊥底面ABCD,連接OB,則OB為PB在平面ABCD內(nèi)的射影,
∴∠PBO為PB與平面ABCD所成角,根據(jù)題意知sin∠PBO=,
∴tan∠PBO=,由題OB=,∴PO=2
取BC中點(diǎn)G,連接OG,以O為坐標(biāo)原點(diǎn),OA為x軸,在平面ABCD中,過O作AB的平行線為y軸,以OP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
B(1,4,0),設(shè)P(0,0,2),C=(-1,4,0),E(-,2,1)
,
設(shè)平面PAE的法向量為,
于是,
令x=2,則y=1,z=1
∴平面PAE的一個(gè)法向量=(2,1,1),
同理平面ABE的一個(gè)法向量為=(2,0,3),
∴cos=
可知二面角P-AE-B為鈍二面角
所以二面角P-AE-B的余弦值為-.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的圖象所過的定點(diǎn)為,光線沿直線射入,遇直線后反射,且反射光線所在的直線經(jīng)過點(diǎn),求的值和的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】大連市某企業(yè)為確定下一年投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi),需了解年宣傳費(fèi)(單位:千元)對年銷售量(單位:)和年利潤(單位:千元)的影響,對近8年的年宣傳費(fèi)和年銷售量數(shù)據(jù)作了初步處理,得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.
46.6 | 573 | 6.8 | 289.8 | 1.6 | 215083.4 | 31280 |
表中,.
根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,與哪一個(gè)適宜作為年銷售量關(guān)于年宣傳費(fèi)的回歸方程類型?(給出判斷即可,不必說明理由)
根據(jù)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù),建立關(guān)于的回歸方程;
已知這種產(chǎn)品的年利潤與、的關(guān)系為.根據(jù)的結(jié)果回答下列問題:
年宣傳費(fèi)時(shí),年銷售量及年利潤的預(yù)報(bào)值是多少?
年宣傳費(fèi)為何值時(shí),年利潤的預(yù)報(bào)值最大?
附:對于一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為:
,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知雙曲線=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,P,Q為雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn),若=0,且∠POF<,則該雙曲線的離心率的取值范圍為______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(2,0),且過點(diǎn)(2,).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)直線l:y=kx(k>0)與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為M,過點(diǎn)F且斜率為-1的直線與l交于點(diǎn)N,若sin∠FON(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求k的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)命題p:方程x2+(2m-4)x+m=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根:命題q:x∈[2,3],不等式x2-4x+13≥m2恒成立.
(1)若命題p為真命題,則實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(2)若命題p∨q為真命題,命題p∧q為假命題,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面為直角梯形,,,平面底面,為的中點(diǎn),是棱上的點(diǎn),,,.
(1)求證:平面平面;
(2)若為棱的中點(diǎn),求異面直線與所成角的余弦值;
(3)若二面角大小為,求的長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】數(shù)列{an}中,a1=8,a4=2,且滿足an+2-2an+1+an=0.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)Sn=|a1|+|a2|+…+|an|,求Sn.
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