Question

12．已知O是三角形ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{BC}$²=$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{AC}$²，則點(diǎn)O在（　�。�

• A． AB邊中線所在的直線上
• B． ∠C平分線所在的直線上
• C． 與AB垂直的直線上
• D． 三角形ABC的外心

Answer 1

分析 取AB的中點(diǎn)D，利用$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{OA}+|\overrightarrow{BC}{|}^{2}=\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{OB}+|\overrightarrow{AC}{|}^{2}$，化簡(jiǎn)可得$\overrightarrow{BA}•2\overrightarrow{OC}=0$，從而可得點(diǎn)O在AB邊的高所在的直線上．

解答 解：取AB的中點(diǎn)D，則∵$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{OA}+|\overrightarrow{BC}{|}^{2}=\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{OB}+|\overrightarrow{AC}{|}^{2}$
∴$\overrightarrow{BA}•（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）=-|\overrightarrow{BC}{|}^{2}+|\overrightarrow{AC}{|}^{2}$
∴$\overrightarrow{BA}•2\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{AB}•（-2\overrightarrow{CD}）$
∴$\overrightarrow{BA}•2\overrightarrow{OC}=0$
∴$\overrightarrow{BA}⊥\overrightarrow{OC}$
∴點(diǎn)O在AB邊的高所在的直線上
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查向量數(shù)量積的應(yīng)用，根據(jù)向量的基本運(yùn)算結(jié)合向量數(shù)量積的公式是解決本題的關(guān)鍵．