Question

13．如圖，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面四邊形ABCD為菱形，A₁A=AB=2，∠ABC=$\frac{π}{3}$，E，F(xiàn)分別是BC，A₁C的中點．
（1）求異面直線EF，AD所成角的余弦值；
（2）點M在線段A₁D上，$\frac{{A}_{1}M}{{A}_{1}D}$=λ．若CM∥平面AEF，求實數(shù)λ的值．

Answer 1

分析 （1）建立坐標(biāo)系，求出直線的向量坐標(biāo)，利用夾角公式求異面直線EF，AD所成角的余弦值；
（2）點M在線段A₁D上，$\frac{{A}_{1}M}{{A}_{1}D}$=λ．求出平面AEF的法向量，利用CM∥平面AEF，即可求實數(shù)λ的值．

解答 解：因為四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁為直四棱柱，
所以A₁A⊥平面ABCD．
又AE?平面ABCD，AD?平面ABCD，
所以A₁A⊥AE，A₁A⊥AD．
在菱形ABCD中∠ABC=$\frac{π}{3}$，則△ABC是等邊三角形．
因為E是BC中點，所以BC⊥AE．
因為BC∥AD，所以AE⊥AD．
建立空間直角坐標(biāo)系．則A（0，0，0），C（$\sqrt{3}$，1，0），D（0，2，0），
A₁（0，0，2），E（$\sqrt{3}$，0，0），F(xiàn)（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，1）．
（1）$\overrightarrow{AD}$=（0，2，0），$\overrightarrow{EF}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，1），
所以異面直線EF，AD所成角的余弦值為$\frac{1}{2\sqrt{1+1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．               …（4分）
（2）設(shè)M（x，y，z），由于點M在線段A₁D上，且 $\frac{A1M}{A1D}$=λ，
則（x，y，z-2）=λ（0，2，-2）．
則M（0，2λ，2-2λ），$\overrightarrow{CM}$=（-$\sqrt{3}$，2λ-1，2-2λ）．        …（6分）
設(shè)平面AEF的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x₀，y₀，z₀）．
因為 $\overrightarrow{AE}$=（$\sqrt{3}$，0，0），$\overrightarrow{AF}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，1），
由$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}{x}_{0}=0}\\{\frac{\sqrt{3}}{2}{x}_{0}+\frac{1}{2}{y}_{0}+{z}_{0}=0}\end{array}\right.$，得x₀=0，$\frac{1}{2}$y₀+z₀=0．
取y₀=2，則z₀=-1，
則平面AEF的一個法向量為n=（0，2，-1）．              …（8分）
由于CM∥平面AEF，則$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CM}$=0，即2（2λ-1）-（2-2λ）=0，解得λ=$\frac{2}{3}$．…（10分）

點評 本題考查線面角，考查線面平行的運(yùn)用，考查向量知識的運(yùn)用，屬于中檔題．