Question

1．已知正實數(shù)a，b滿足$\frac{1}{{（{2a+b}）b}}+\frac{2}{{（{2b+a}）a}}=1$，則ab的最大值為2-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，可以將ab轉(zhuǎn)化可得ab=$\frac{1}{2+\frac{a}}$+$\frac{2}{2+\frac{a}}$，令$\frac{a}$=t，則ab又可以變形為ab=1+$\frac{t-1}{2{t}^{2}+5t+2}$，再令u=t-1，ab進一步可以變形為ab=1+$\frac{1}{2u+\frac{9}{u}+9}$，利用基本不等式，計算可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，由于$\frac{1}{{（{2a+b}）b}}+\frac{2}{{（{2b+a}）a}}=1$，
則ab=ab（$\frac{1}{{（{2a+b}）b}}+\frac{2}{{（{2b+a}）a}}$）=$\frac{a}{2a+b}$+$\frac{2b}{2b+a}$=$\frac{1}{2+\frac{a}}$+$\frac{2}{2+\frac{a}}$；
令$\frac{a}$=t，
則ab=$\frac{1}{2+t}$+$\frac{2}{2+\frac{1}{t}}$=$\frac{1}{2+t}$+$\frac{2t}{2t+1}$=$\frac{2t+1+2t（2+t）}{（2+t）（2t+1）}$=$\frac{2{t}^{2}+6t+1}{2{t}^{2}+5t+2}$=1+$\frac{t-1}{2{t}^{2}+5t+2}$，
令u=t-1，t=u+1；
ab=1+$\frac{u}{2（u+1）^{2}+5（u+1）+2}$=1+$\frac{u}{2{u}^{2}+9u+9}$=1+$\frac{1}{2u+\frac{9}{u}+9}$≤1+$\frac{1}{2\sqrt{18}+9}$=2-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$；
即ab的最大值2-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$；
故答案為：2-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

點評 本題考查基本不等式的應用，關鍵是利用$\frac{1}{{（{2a+b}）b}}+\frac{2}{{（{2b+a}）a}}=1$，借助恒等變形將問題進行轉(zhuǎn)化．