Question

18．如圖，在底面半徑和高均為4的圓錐中，AB、CD是底面圓O的兩條互相垂直的直徑，E是母線PB的中點(diǎn)，若過直徑CD與點(diǎn)E的平面與圓錐側(cè)面的交線是以E為頂點(diǎn)的拋物線的一部分，則該拋物線的焦點(diǎn)到圓錐頂點(diǎn)P的距離為$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 根據(jù)圓錐的性質(zhì)，建立坐標(biāo)系，確定拋物線的方程，計(jì)算出EF的長(zhǎng)度，結(jié)合直角三角形的關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：如圖所示，過點(diǎn)E作EH⊥AB，垂足為H．
∵E是母線PB的中點(diǎn)，圓錐的底面半徑和高均為4，
∴OH=EH=2．
∴OE=2$\sqrt{2}$．
在平面CED內(nèi)建立直角坐標(biāo)系如圖．
設(shè)拋物線的方程為y²=2px
（p＞0），F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)．
C（2$\sqrt{2}$，4），
∴16=2p•（2$\sqrt{2}$），
解得p=2$\sqrt{2}$．
F（$\sqrt{2}$，0）．
即OF=$\sqrt{2}$，EF=$\sqrt{2}$，
∵PB=4$\sqrt{2}$，PE=2$\sqrt{2}$，
∴該拋物線的焦點(diǎn)到圓錐頂點(diǎn)P的距離為$\sqrt{E{F}^{2}+P{E}^{2}}$=$\sqrt{2+8}$=$\sqrt{10}$，
故答案為：$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓錐的性質(zhì)、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了轉(zhuǎn)變角度解決問題的能力，考查了推理能力與計(jì)算能力，建立平面坐標(biāo)系，求出拋物線的方程以及焦點(diǎn)坐標(biāo)是解決本題的關(guān)鍵，屬于難題