16.(1)在△ABC中,已知a-b=4,a+c=2b,且最大角為120°,求△ABC的三邊長.
(2)在銳角三角形中,邊a、b是方程x2-2$\sqrt{3}$x+2=0的兩根,角A、B滿足2sin(A+B)-$\sqrt{3}$=0,求角C的度數(shù),邊c的長度及△ABC的面積.

分析 (1)根據(jù)題意得出最大角為A,由余弦定理求出a的值,再求b、c的值;
(2)由題意求出角C的值,再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系和余弦定理,即可求出三角形的面積.

解答 解:(1)△ABC中,a-b=4,a+c=2b,且最大角為120°,
∴b=a-4,c=a-8,A=120°;
由余弦定理得:
cosA=$\frac{^{2}{+c}^{2}{-a}^{2}}{2bc}$=$\frac{{(a-4)}^{2}{+(a-8)}^{2}{-a}^{2}}{2(a-4)(a-8)}$=-$\frac{1}{2}$,
解得:a=4(不合題意,舍去)或a=14,
∴b=14-4=10,c=14-8=6;
(2)由2sin(A+B)-$\sqrt{3}$=0,
得sin(A+B)=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∵△ABC為銳角三角形,
∴A+B=120°,C=60°,
又∵a、b是方程x2-2$\sqrt{3}$x+2=0的兩根,
∴a+b=2$\sqrt{3}$,
又a•b=2,
∴c2=a2+b2-2a•bcosC=(a+b)2-3ab=12-6=6,
∴c=$\sqrt{6}$,
S△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$.

點評 本題考查了余弦定理的應(yīng)用問題,也考查了解三角形和根與系數(shù)的關(guān)系,是綜合性題目.

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6514520
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