Question

7．已知動圓過定點F（0，1），且與定直線y=-1相切．
（Ⅰ）求動圓圓心M所在曲線C的方程；
（Ⅱ）直線l經(jīng)過曲線C上的點P（x₀，y₀），且與曲線C在點P的切線垂直，l與曲線C的另一個交點為Q，當x₀=$\sqrt{2}$時，求△OPQ的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用拋物線的定義，求動圓圓心M所在曲線C的方程；
（Ⅱ）求出直線l的方程，與拋物線得方程x²+4$\sqrt{2}$x-10=0，求出|PQ|，點O到直線l的距離，即可求△OPQ的面積．

解答 解：（Ⅰ）由題知，點M（x，y）到定點F（0，1）的距離等于它到定直線y=-1的距離，所以點M所在的曲線C是以F（0，1）為焦點，以y=-1為準線的拋物線…（2分）
∴曲線C的方程是：x²=4y…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）有曲線C：y=$\frac{1}{4}{x}^{2}$，y'=$\frac{1}{2}$x…（5分）
當x₀=$\sqrt{2}$時，P（$\sqrt{2}$，$\frac{1}{2}$），曲線C在點P的切線的斜率是$\frac{\sqrt{2}}{2}$（6分）
所以直線l的斜率k=-$\sqrt{2}$，直線l的方程為：y=-$\sqrt{2}$ x+$\frac{5}{2}$…（7分）
設Q（x₁，y₁），
聯(lián)立直線與拋物線得方程x²+4$\sqrt{2}$x-10=0…（8分）
x₀+x₁=-4$\sqrt{2}$，x₀x₁=-10，
|PQ|=$\sqrt{1+2}•\sqrt{32+40}$=6$\sqrt{6}$…（10分）
又點O到直線l的距離d=$\frac{5\sqrt{3}}{6}$，
從而可得△OPQ的面積S=$\frac{1}{2}×6\sqrt{6}×\frac{5\sqrt{3}}{6}$=$\frac{15\sqrt{2}}{2}$（12分）

點評 本題考查拋物線的定義與方程，考查導數(shù)知識的運用，考查直線與拋物線的位置關系，屬于中檔題．