Question

2．在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C：ρsin²θ-4cosθ=0，直線l過點(diǎn)M（0，4）且斜率為-1．
（Ⅰ）將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，寫出直線l的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程；
（Ⅱ）若直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，求|AB|的值．

Answer 1

分析 （I）曲線C：ρsin²θ-4cosθ=0，即ρ²sin²θ-4ρcosθ=0，利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，即可化為直角坐標(biāo)方程．由直線l過點(diǎn)M（0，4）且斜率為-1，可得參數(shù)方程．
（II）把直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程：t²+12$\sqrt{2}$t+32=0．利用|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$即可得出．

解答 解：（I）曲線C：ρsin²θ-4cosθ=0，即ρ²sin²θ-4ρcosθ=0，可得直角坐標(biāo)方程：y²=4x．
由直線l過點(diǎn)M（0，4）且斜率為-1，可得參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（II）把直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程：t²+12$\sqrt{2}$t+32=0．
∴t₁+t₂=-12$\sqrt{2}$，t₁t₂=32．
∴|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{（-12\sqrt{2}）^{2}-4×32}$=4$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化、參數(shù)方程化為普通方程、直線與拋物線相交弦長(zhǎng)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．