Question

18．已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=$\frac{1}{2}$x²-bx（b為常數(shù)）．
（1）函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與函數(shù)g（x）的圖象相切，求實(shí)數(shù)b的值；
（2）若函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）在定義域上存在單調(diào)減區(qū)間，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（3）若b≥2，?x₁，x₂∈[1，2]，且x₁≠x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|＞|g（x₁）-g（x₂）|成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出b的值即可；
（2）求出h（x）的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于b的不等式組，解出即可；
（3）問題等價(jià)于f（x₁）-f（x₂）＞g（x₂）-g（x₁），即h（x）=f（x）+g（x）=$lnx+\frac{1}{2}{x^2}-bx$在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出b的范圍即可．

解答 解：（1）因?yàn)閒（x）=lnx，所以$f'（x）=\frac{1}{x}$，因此f'（1）=1，
所以函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=x-1，
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{y=\frac{1}{2}{x^2}-bx}\end{array}}\right.$得x²-2（b+1）x+2=0．
由△=4（b+1）²-8=0，得$b=-1±\sqrt{2}$．
（還可以通過導(dǎo)數(shù)來(lái)求b）
（2）因?yàn)閔（x）=f（x）+g（x）=$lnx+\frac{1}{2}{x^2}-bx$（x＞0），
所以$h'（x）=\frac{1}{x}+x-b=\frac{{{x^2}-bx+1}}{x}$，
由題意知h'（x）＜0在（0，+∞）上有解，
因?yàn)閤＞0，設(shè)u（x）=x²-bx+1，因?yàn)閡（0）=1＞0，
則只要$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}＞0}\\{^{2}-4＞0}\end{array}\right.$，解得b＞2，
所以b的取值范圍是（2，+∞）．
（3）不妨設(shè)x₁＞x₂，
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=lnx在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，
所以f（x₁）＞f（x₂），
函數(shù)g（x）圖象的對(duì)稱軸為x=b，且b＞2．
當(dāng)b≥2時(shí)，函數(shù)g（x）在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，
所以g（x₁）＜g（x₂），
所以|f（x₁）-f（x₂）|＞|g（x₁）-g（x₂）|，
等價(jià)于f（x₁）-f（x₂）＞g（x₂）-g（x₁），
即f（x₁）+g（x₁）＞f（x₂）+g（x₂），
等價(jià)于h（x）=f（x）+g（x）=$lnx+\frac{1}{2}{x^2}-bx$在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，
等價(jià)于$h'（x）=\frac{1}{x}+x-b≥0$在區(qū)間[1，2]上恒成立，
等價(jià)于$b≤x+\frac{1}{x}$在區(qū)間[1，2]上恒成立，所以b≤2，又b≥2，所以b=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道綜合題．