Question

9．如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠BAD=60°，四邊形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD
（1）在圖中畫出過點(diǎn)B，D的平面α，使得α∥平面AEF（必須說明畫法，不需證明）；
（2）若二面角α-BD-C是45°，求FB與平面α所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）分別取EC，F(xiàn)C的中點(diǎn)G，H，連接GD，BH，HG，則四邊形BHGD所確定的平面為平面α；
（2）取EF的中點(diǎn)N，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接ON，由四邊形BDEF為矩形，O，N分別為BD，EF的中點(diǎn)，可得ON∥ED．由面面垂直的性質(zhì)可得ED⊥平面ABCD，進(jìn)一步得到ON⊥平面ABCD．再由ABCD為菱形，可得AC⊥BD．以O(shè)為原點(diǎn)，OB，OC，ON所在直線分別為x軸，y軸，z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系．然后利用空間向量求FB與平面α所成角的正弦值．

解答 解：（1）如圖所示，分別取EC，F(xiàn)C的中點(diǎn)G，H，
連接GD，BH，HG，四邊形BHGD所確定的平面為平面α．
（2）取EF的中點(diǎn)N，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接ON，
∵四邊形BDEF為矩形，O，N分別為BD，EF的中點(diǎn)，
∴ON∥ED．
∵平面BDEF⊥平面ABCD，
∴ED⊥平面ABCD，則ON⊥平面ABCD．
∵ABCD為菱形，即AC⊥BD．
以O(shè)為原點(diǎn)，OB，OC，ON所在直線分別為x軸，y軸，z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系．
∵平面α∥平面AEF，∴BF與平面α所成的角可以轉(zhuǎn)化為BF與平面AEF所成的角，則平面AEF與平面ABCD所成角為45°．
設(shè)FB=a，則A（0，$-\sqrt{3}$，0），E（-1，0，a），F(xiàn)（1，0，a），$\overrightarrow{AE}=（-1，\sqrt{3}，a）$，$\overrightarrow{AF}=（1，\sqrt{3}，a）$，B（1，0，0），
設(shè)平面AEF的法向量為$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=-x+\sqrt{3}y+az=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AF}=x+\sqrt{3}y+az=0}\end{array}\right.$，令z=1，得$\overrightarrow{n}=（0，-\frac{a}{\sqrt{3}}，1）$．
易看出$\overrightarrow{m}=（0，0，1）$是平面ABCD的一個(gè)法向量，依題得$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$\frac{1}{\sqrt{\frac{{a}^{2}}{3}+1}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得a=$\sqrt{3}$．
∴$\overrightarrow{n}=（0，-1，1）$，又$\overrightarrow{BF}=（0，0，\sqrt{3}）$，∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{BF}$＞=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即FB與平面α所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面平行的判定，考查線面角的求法，訓(xùn)練了利用空間向量求線面角，是中檔題．