Question

13．如圖，五面體ABCDE中，四邊形ABDE是菱形，△ABC是邊長為2的正三角形，∠DBA=60°，$CD=\sqrt{3}$．
（1）證明：DC⊥AB；
（2）若點C在平面ABDE內(nèi)的射影H，求CH與平面BCD所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取AB的中點O，連OC，OD，證明：AB⊥平面DOC，即可證明DC⊥AB；
（2）若點C在平面ABDE內(nèi)的射影H，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量方法求CH與平面BCD所成的角的正弦值．

解答 （1）證明：如圖，取AB的中點O，連OC，OD，
因為△ABC是邊長為2的正三角形，所以$AB⊥OC，OC=\sqrt{3}$，
又四邊形ABDE是菱形，∠DBA=60°，所以△DAB是正三角形，
所以$AB⊥OD，OD=\sqrt{3}$，
而OD∩OC=O，所以AB⊥平面DOC，
所以AB⊥CD．
（2）解：由（1）知OC=CD，平面DOC⊥平面ABD，
因為平面DOC與平面ABD的交線為OD，
所以點C在平面ABDE內(nèi)的射影H必在OD上，
所以H是OD的中點，
如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，$B（1，0，0），C（0，\sqrt{3}，0）$，$D（0，\sqrt{3}，\frac{3}{2}），H（0，\frac{{\sqrt{3}}}{4}，\frac{3}{4}）$，
所以$\overrightarrow{CH}=（0，-\frac{{3\sqrt{3}}}{4}，\frac{3}{4}）$，$\overrightarrow{BC}=（-1，\sqrt{3}，0）$，$\overrightarrow{BD}=（-1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{3}{2}）$，
設(shè)平面BDC的法向量為$\overrightarrow n=（x，y，z）$，則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{BC}=-x+\sqrt{3}y=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{BD}=-x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}y+\frac{3}{2}z=0\end{array}\right.$，取$y=\sqrt{3}$，則x=3，z=1，
即平面BCD的一個法向量為$（3，\sqrt{3}，1）$．
所以CH與平面BCD所成的角的正弦值為$|{\frac{{\overrightarrow{CH}•\overrightarrow n}}{{|\overrightarrow{CH}|•|\overrightarrow n|}}}|=|{\frac{-3+1}{{2•\sqrt{13}}}}|$=$\frac{{\sqrt{13}}}{13}$．

點評 本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查線面角，考查向量知識的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．