Question

10．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為$\sqrt{3}$，實(shí)軸長為2，直線l：x-y+m=0與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A，B，
（1）求雙曲線C的方程；  
（2）若線段AB的中點(diǎn)在圓x²+y²=5上，求m的值；
（3）若線段AB的長度為4$\sqrt{5}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)雙曲線的離心率和和實(shí)軸長即可求出a，b的值，問題得以解決，
（2）設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），線段AB的中點(diǎn)為M（x₀，y₀），根據(jù)點(diǎn)M（x₀，y₀）在圓x²+y²=5上，即可求出m的值，
（3）根據(jù)弦長公式即可求出m的值．

解答 解：（1）由題意，得$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，2a=2，又因?yàn)閏²=a²+b²
解得a=1，c=$\sqrt{3}$，
∴b²=c²-a²=2
∴所求雙曲線C的方程為x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（2）設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），線段AB的中點(diǎn)為M（x₀，y₀），
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{2}=1}\\{x+y+m=0}\end{array}\right.$得x²-2mx-m²-2=0，判別式△＞0，
∴x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=m，y₀=x₀+m=2m，
∵點(diǎn)M（x₀，y₀）在圓x²+y²=5上，
∴m²+（2m）²=5，
∴m=±1．
（3）由$|{AB}|=\sqrt{{{（{x_1}-{x_2}）}^2}+{{（{y_1}-{y_2}）}^2}}$=$\sqrt{{{（{x_1}-{x_2}）}^2}+{{（{x_1}-{x_2}）}^2}}$=$\sqrt{2{{（{x_1}-{x_2}）}^2}}$=$\sqrt{2[{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}$=$\sqrt{2[{{（2m）}^2}-4（-{m^2}-2）}]$=$4\sqrt{5}$
解得m=±2
所以直線l的方程為x-y+2=0或x-y-2=0

點(diǎn)評 本題考查了雙曲線的性質(zhì)和點(diǎn)和圓的位置關(guān)系和弦長公式，屬于中檔題