Question

3．設(shè)曲線l極坐標(biāo)方程為ρcosθ-ρsinθ+1=0，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}cosθ\\ y=\sqrt{2}sinθ\end{array}\right.（θ為參數(shù)）$，A，B為曲線l與曲線C的兩個交點，則|AB|=（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{6}$

Answer 1

分析 先將直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，曲線C的參數(shù)方程化為普通方程，然后利用代數(shù)法或幾何法解答．

解答 方法一：代數(shù)法
直線l：ρcosθ-ρsinθ+1=0⇒x-y+1=0，
曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosθ}\\{y=\sqrt{2}sinθ}\end{array}\right.$⇒x²+y²=2，
聯(lián)立，$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，得x²+（x+1）²-2=0，
即2x²+2x-1=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由韋達定理，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=-1}\\{{x}_{1}{x}_{2}=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
所以$|AB|=\sqrt{1+{k}^{2}}|{x}_{1}-{x}_{2}|$=$\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{6}$，選D．
方法二：幾何法
直線l：ρcosθ-ρsinθ+1=0⇒x-y+1=0，
曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosθ}\\{y=\sqrt{2}sinθ}\end{array}\right.$⇒x²+y²=2，
圓心（0，0）到直線x-y+1=0的距離$d=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
半徑$r=\sqrt{2}$，所以$|AB|=2\sqrt{{r}^{2}-ciyqev2^{2}}=\sqrt{6}$，選D．
注：當(dāng)然此題也可以直接求出A，B兩點的坐標(biāo)，然后利用兩點之間的距離公式求解．

點評 極坐標(biāo)和參數(shù)方程問題一般化為熟悉的直角坐標(biāo)問題，所以轉(zhuǎn)化是解決此類問題的關(guān)鍵．