1.已知函數(shù)f(x)=x(x-a)(x-b).
(1)若a=0,b=3,求y=f(x)的切線中與y軸垂直的切線方程.
(2)若a=0,b=3,函數(shù)f(x)在(t,t+3)上既能取到極大值,又能取到極小值,求t的取值范圍;
(3)當(dāng)a=0時(shí),$\frac{f(x)}{x}$+lnx+1≥0對任意的x∈[$\frac{1}{2}$,+∞)恒成立,求b的取值范圍.

分析 (1)若a=0,b=3,求導(dǎo)數(shù),令f′(x)=得x=0或2,即可求y=f(x)的切線中與y軸垂直的切線方程.
(2)得出函數(shù)f(x)在x=0處取得極大值,在x=2處取得極小值.函數(shù)f(x)在(t,t+3)上既能取到極大值,又能取到極小值,則只要t<0且t+3>2即可;
(3)問題轉(zhuǎn)化為b≤x+$\frac{lnx}{x}$+$\frac{1}{x}$在對任意的x∈[$\frac{1}{2}$,+∞)恒成立.令g(x)=x+$\frac{lnx}{x}$+$\frac{1}{x}$,則g′(x)=$\frac{{x}^{2}-lnx}{{x}^{2}}$.求出函數(shù)的最小值,即可得出結(jié)論.

解答 解:(1)當(dāng)a=0,b=3時(shí),f(x)=x3-3x2,f′(x)=3x2-6x,
令f′(x)=得x=0或2,∴y=0或-4;
(2)當(dāng)a=0,b=3時(shí),f(x)=x3-3x2,f′(x)=3x2-6x,
令令f′(x)=得x=0或2,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號可以得出函數(shù)f(x)在x=0處取得極大值,在x=2處取得極小值.
函數(shù)f(x)在(t,t+3)上既能取到極大值,又能取到極小值,則只要t<0且t+3>2即可,
即只要-1<t<0即可.
所以t的取值范圍是(-1,0).
(3)當(dāng)a=0時(shí),$\frac{f(x)}{x}$+lnx+1≥0對任意的x∈[$\frac{1}{2}$,+∞)恒成立,
即x2-bx+lnx+1≥0對任意的x∈[$\frac{1}{2}$,+∞)恒成立,
也即b≤x+$\frac{lnx}{x}$+$\frac{1}{x}$在對任意的x∈[$\frac{1}{2}$,+∞)恒成立.
令g(x)=x+$\frac{lnx}{x}$+$\frac{1}{x}$,則g′(x)=$\frac{{x}^{2}-lnx}{{x}^{2}}$.
記m(x)=x2-lnx,則m′(x)=$\frac{2{x}^{2}-1}{x}$,
則這個(gè)函數(shù)在其定義域內(nèi)有唯一的極小值點(diǎn)x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,故也是最小值點(diǎn),
所以m(x)≥$\frac{1}{2}-ln\frac{\sqrt{2}}{2}$>0,從而g′(x)>0,
所以函數(shù)g(x)在[$\frac{1}{2}$,+∞)單調(diào)遞增.函數(shù)g(x)min=$\frac{5}{2}$-2ln2.
故只要b≤$\frac{5}{2}$-2ln2即可.所以b的取值范圍是(-∞,$\frac{5}{2}$-2ln2].  (8分)

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運(yùn)用,考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、極值,考查恒成立問題,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.

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