Question

7．如圖，正方形ABCD和直角梯形BDEF所在的平面互相垂直，O為正方形ABCD的中心，AD=DE=2$\sqrt{2}$，EF∥BD，BD=2EF，DE⊥BD．
（Ⅰ）求證：OE∥平面BFC；
（Ⅱ）求二面角A-CF-B正弦值的大�。�

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出四邊形BOEF是平行四邊形，從而OE∥BF，由此能證明OE∥平面BFC．
（Ⅱ）推導(dǎo)出DE⊥BD，以D為原點(diǎn)，DA、DC、DE分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A-CF-B正弦值的大�。�

解答 證明：（Ⅰ）∵EF∥BD，BD=2EF，O為正方形ABCD的中點(diǎn)，
∴EF∥OB，EF=OB，
∴四邊形BOEF是平行四邊形，∴OE∥BF，
∵BF?平面BFC，OE?平面BFC，
∴OE∥平面BFC．
解：（Ⅱ）∵平面ABCD⊥平面BDEF，平面ABCD∩平面BDEF=BD，
DE⊥BD，
∴DE⊥平面ABCD，
由（Ⅰ）知DE=OF，DE∥OF，
以D為原點(diǎn)，DA、DC、DE分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（2$\sqrt{2}$，0，0），B（2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$，0），C（0，2$\sqrt{2}$，0），F(xiàn)（$\sqrt{2}，\sqrt{2}，2\sqrt{2}$），
∴$\overrightarrow{AC}$=（-2$\sqrt{2}，2\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{AF}$=（-$\sqrt{2}，\sqrt{2}，2\sqrt{2}$），
設(shè)平面ACF的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{m}=x-y=0}\\{\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{m}=-x+y+2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，1，0），
同理得到平面BCF的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}$=（0，2，1），
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{2}•\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
sin＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{10}}{5}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
∴二面角A-CF-B正弦值的大小為$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查線面垂直、面面垂直的判定、性質(zhì)得靈活應(yīng)用，考查二面角概念及其正弦值的求法，化歸與轉(zhuǎn)化的思想的應(yīng)用，考查邏輯推理、運(yùn)算、空間想象能力．屬中檔題．