Question

19．已知平面ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，CD⊥AD，且AB=1，AD=CD=2，ADEF是正方形，在正方形ADEF內(nèi)部有一點(diǎn)M，滿足MB、MC與平面ADEF所成的角相等，則點(diǎn)M的軌跡長度為（　�。�

• A． $\frac{4}{3}$
• B． $\frac{16}{3}$
• C． $\frac{4}{9}π$
• D． $\frac{8}{3}$π

Answer 1

分析 建立空間直角坐標(biāo)，求得B，C和M點(diǎn)坐標(biāo)，由題意可知2丨MB丨=丨MC丨，利用空間中兩點(diǎn)之間的距離公式，即可求得M的軌跡方程，即可求得點(diǎn)M的軌跡長度．

解答 解：由題意可知，以D為原點(diǎn)，分別以DA，DC，DE為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則B（2，1，0），C（0，2，0），M（x，0，z），
由直線MB，MC與平面ADEF所成的角，∠AMB，∠DMC，均為銳角，
∴sin∠AMB=sin∠DMC，即$\frac{丨AB丨}{丨MB丨}$=$\frac{丨CD丨}{丨MC丨}$，即2丨MB丨=丨MC丨，
則2$\sqrt{（2-x）^{2}+{1}^{2}+{z}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+{2}^{2}+{z}^{2}}$，整理得：（x-$\frac{8}{3}$）²+z²=$\frac{16}{9}$，
由此可得：M在正方形ADEF內(nèi)的軌跡是以點(diǎn)O（$\frac{8}{3}$，0，0）為圓心，以$\frac{4}{3}$為半徑的圓弧M₁M₂，
則圓心角∠M₁OM₂=$\frac{π}{3}$，
則圓弧M₁M₂弧長l，l=$\frac{π}{3}$×$\frac{4}{3}$=$\frac{4π}{9}$，
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間向量的坐標(biāo)表示，考查空間中兩點(diǎn)之間的距離公式，軌跡方程的求法，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．