Question

19．如圖，小華和小明兩個(gè)小伙伴在一起做游戲，他們通過(guò)劃拳（剪刀、石頭、布）比賽決勝誰(shuí)首先登上第3個(gè)臺(tái)階，他們規(guī)定從平地開始，每次劃拳贏的一方登上一級(jí)臺(tái)階，輸?shù)囊环皆�地不�?dòng)，平局時(shí)兩個(gè)人都上一級(jí)臺(tái)階，如果一方連續(xù)兩次贏，那么他將額外獲得一次上一級(jí)臺(tái)階的獎(jiǎng)勵(lì)，除非已經(jīng)登上第3個(gè)臺(tái)階，當(dāng)有任何一方登上第3個(gè)臺(tái)階時(shí)，游戲結(jié)束，記此時(shí)兩個(gè)小伙伴劃拳的次數(shù)為X．
（1）求游戲結(jié)束時(shí)小華在第2個(gè)臺(tái)階的概率；
（2）求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）討論最后一次劃拳之前兩人的位置，利用相互獨(dú)立事件概率公式計(jì)算各種情況的概率；
（2）利用相互獨(dú)立事件概率公式計(jì)算各種情況的概率，列出分布列，再計(jì)算均值．

解答 解：（1）設(shè)事件“第i（i∈N^*）次劃拳小華贏”為A_i；事件“第i次劃拳小華平”為B_i；事件“第i次劃拳小華輸”為C_i，
則P（A_i）=P（B_i）=P（C_i）=$\frac{1}{3}$．
因?yàn)橛螒蚪Y(jié)束時(shí)小華在第2個(gè)臺(tái)階，所以這包含兩種可能的情況：
第一種：小華在第1個(gè)臺(tái)階，并且小明在第2個(gè)臺(tái)階，最后一次劃拳小華平；
其概率為P₁=${A}_{2}^{2}$P（B₁）P（C₂）P（B₃）+P（C₁）P（A₂）P（C₃）P（B₄）=$\frac{7}{81}$，
第二種：小華在第2個(gè)臺(tái)階，并且小明也在第2個(gè)臺(tái)階，最后一次劃拳小華輸，
其概率為P₂=P（B₁）P（B₂）P（C₃）+A${\;}_{3}^{3}$P（A₁）P（B₂）P（C₃）P（C₄）+A${\;}_{2}^{2}$P（A₁）P（C₂）P（A₃）P（C₄）P（C₅）=$\frac{29}{243}$．
所以游戲結(jié)束時(shí)小華在第2個(gè)臺(tái)階的概率為P=$\frac{7}{81}+\frac{29}{243}$=$\frac{50}{243}$．
（2）依題可知X的可能取值為2、3、4、5，
$P（{X=5}）=2P（{A_1}）P（{C_2}）P（{A_3}）P（{C_4}）=2×{（{\frac{1}{3}}）^4}=\frac{2}{81}$，
$P（{X=2}）=2P（{A_1}）P（{A_2}）=2×{（{\frac{1}{3}}）^2}=\frac{2}{9}$，
P（X=3）=2P（A₁）P（B₂）P（A₃）+2P（B₁）P（A₂）P（A₃）+P（B₁）P（B₂）P（B₃）+
2P（A₁）P（B₂）P（B₃）+2P（B₁）P（A₂）P（B₃）+2P（B₁）P（B₂）P（A₃）+2P（C₁）P（A₂）P（A₃）=$\frac{13}{27}$，
$P（{X=4}）=1-P（{X=5}）-P（{X=2}）-P（{X=3}）=\frac{22}{81}$，
所以X的分布列為：

X	2	3	4	5
P	$\frac{2}{9}$	$\frac{13}{27}$	$\frac{22}{81}$	$\frac{2}{81}$

所以X的數(shù)學(xué)期望為：$E（X）=2×\frac{2}{9}+3×\frac{13}{27}+4×\frac{22}{81}+5×\frac{2}{81}=\frac{251}{81}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列，討論情況較多，情況分類要不重不漏，屬于中檔題．