9．已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)D是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D到AB、AC的距離分別為x、y，則xy的最大值為$\frac{3}{4}$．

分析 由ABC是的邊長(zhǎng)為2的正三角形，每個(gè)角是60°，x、y分別是點(diǎn)D到AB、AC的距離，利用三角函數(shù)的定義可得BD和DC的距離．利用基本不等式即可求xy的最大值．

解答 解：由題意，ABC是的邊長(zhǎng)為2的正三角形，每個(gè)角是60°，x、y分別是點(diǎn)D到AB、AC的距離，
∴BD=$\frac{x}{sin60°}$，DC=$\frac{y}{sin60°}$
可得：BD+DC=$\frac{y}{sin60°}$+$\frac{x}{sin60°}$=2，即x+y=$\sqrt{3}$．
∵$\sqrt{3}$=x+y$≥2\sqrt{xy}$，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$時(shí)取等號(hào)．
可得$\frac{\sqrt{3}}{2}≥\sqrt{xy}$．
∴xy的最大值為$\frac{3}{4}$．
故答案為：$\frac{3}{4}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)定義與基本不等式的性的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

2．在△ABC中，已知（2b-c）cos A=acos C．
（1）求角A的大�。�
（2）若S△ABC=$\sqrt{3}$，a=$\sqrt{13}$，求b+c的值；
（3）若△ABC的外接圓半徑R=1，求b+c的取值范圍．

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3．在斜三角形ABC中，tanA+tanB+tanAtanB=1，則∠C=135°．

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4．已知函數(shù)y=f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，滿足f（2+x）=f（2-x），若函數(shù)y=f（x）在（0，4）上至少有一個(gè)零點(diǎn)，且f（0）=0，則函數(shù)y=f（x）在（-8，10]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)至少為9．

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14．已知函數(shù)f（x）=max+a2x-1，（a＞0且a≠1，m∈R）．
（1）若a=$\frac{1}{2}$，m=1時(shí)，試判定函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性；
（2）當(dāng)m=2時(shí)，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間x∈[-1，1]上的最大值是14，求實(shí)數(shù)a的值．

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1．已知公差不為0的等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1為a（a∈R），且$\frac{1}{a_1}，\frac{1}{a_2}，\frac{1}{a_4}$成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）對(duì)n∈N*，試比較$\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_4}+\frac{1}{a_8}+…+\frac{1}{{{a_{2^n}}}}$與$\frac{1}{a_1}$的大�。�

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18．已知$sinα=\frac{4}{5}$，$sinβ=-\frac{5}{13}$，$α∈（{\frac{π}{2}，π}）$，$β∈（{π，\frac{3}{2}π}）$；求$sin（{\frac{π}{4}-α}）$，tan（α-β）的值．

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19．如圖，小華和小明兩個(gè)小伙伴在一起做游戲，他們通過劃拳（剪刀、石頭、布）比賽決勝誰首先登上第3個(gè)臺(tái)階，他們規(guī)定從平地開始，每次劃拳贏的一方登上一級(jí)臺(tái)階，輸?shù)囊环皆夭粍?dòng)，平局時(shí)兩個(gè)人都上一級(jí)臺(tái)階，如果一方連續(xù)兩次贏，那么他將額外獲得一次上一級(jí)臺(tái)階的獎(jiǎng)勵(lì)，除非已經(jīng)登上第3個(gè)臺(tái)階，當(dāng)有任何一方登上第3個(gè)臺(tái)階時(shí)，游戲結(jié)束，記此時(shí)兩個(gè)小伙伴劃拳的次數(shù)為X．
（1）求游戲結(jié)束時(shí)小華在第2個(gè)臺(tái)階的概率；
（2）求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

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