Question

【題目】如圖所示，在所有棱長(zhǎng)都為的三棱柱中，側(cè)棱，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)．

（1）求證：∥平面；

（2）求四棱錐的體積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

試題分析：本題主要考查線線平行、線面平行、線線垂直、線面垂直、四棱錐的體積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、空間想象能力、邏輯思維能力、計(jì)算能力．第一問，作出輔助線，根據(jù)是的中位線，得∥，再根據(jù)線面平行的判定，得∥平面；由為正三角形，得，而平面，可轉(zhuǎn)化為平面，則利用線面垂直的性質(zhì)，得，利用線面垂直的判定得平面，則可以判斷是四棱錐的高，最后利用四棱錐的體積公式計(jì)算即可．

試題解析：（1）連結(jié)，設(shè)與交于點(diǎn)，

則點(diǎn)是的中點(diǎn)，連結(jié)，

因?yàn)?/span>點(diǎn)為的中點(diǎn)，

所以是的中位線，

所以∥，

因?yàn)?/span>平面，面，

所以∥平面．

（2）取線段中點(diǎn)，連結(jié)，

，點(diǎn)為線段中點(diǎn)，

．

又平面

即平面，平面

，

，

平面，則是四棱錐的高

．