Question

16．已知函數(shù)f（x）=e^ax-x．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在（0，f（0））處的切線l與直線x+2y+3=0垂直，求a的值；
（Ⅱ）當a≠1時，求證：存在實數(shù)x₀使f（x₀）＜1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函數(shù)的導函數(shù)，結(jié)合曲線y=f（x）在（0，f（0））處的切線l與直線x+2y+3=0垂直，求a的值；
（Ⅱ）當a≤0時，有f（1）＜e^a-1≤0＜1，即存在實數(shù)x₀使f（x₀）＜1；當a＞0，a≠1時，求出導函數(shù)的零點，由導函數(shù)的零點對定義域分段，由單調(diào)性求出函數(shù)的極小值，再由導數(shù)求出極小值的最大值得答案．

解答 （Ⅰ）解：f'（x）=ae^ax-1，
∵曲線y=f（x）在（0，f（0））處的切線與直線x+2y+3=0垂直，
∴切線l的斜率為2，
∴f'（0）=a-1=2，
∴a=3；
（Ⅱ）證明：當a≤0時，顯然有f（1）＜e^a-1≤0＜1，即存在實數(shù)x₀使f（x₀）＜1；
當a＞0，a≠1時，由f'（x）=0可得$x=\frac{1}{a}ln\frac{1}{a}$，
∴在$x∈（-∞，\frac{1}{a}ln\frac{1}{a}）$時，f'（x）＜0，∴函數(shù)f（x）在$（-∞，\frac{1}{a}ln\frac{1}{a}）$上遞減；
$x∈（\frac{1}{a}ln\frac{1}{a}，+∞）$時，f'（x）＞0，∴函數(shù)f（x）在$（\frac{1}{a}ln\frac{1}{a}，+∞）$上遞增．
∴$f（\frac{1}{a}ln\frac{1}{a}）$=$\frac{1+lna}{a}$是f（x）的極小值．
設(shè)$g（x）=\frac{1+lnx}{x}$，則$g'（x）=\frac{-lnx}{x^2}（x＞0）$，令g'（x）=0，得x=1．

x	（0，1）	1	（1，+∞）
g'（x）	+	0	-
g（x）	↗	極大值	↘

∴當x≠1時g（x）＜g（1）=1，
∴$f（\frac{1}{a}ln\frac{1}{a}）＜1$，
綜上，若a≠1，存在實數(shù)x₀使f（x₀）＜1．

點評 本題考查利用導數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，考查利用導數(shù)求函數(shù)的極值，是中檔題．