Question

12．某保險公司針對企業(yè)職工推出一款意外險產(chǎn)品，每年每人只要交少量保費，發(fā)生意外后可一次性獲賠50萬元．保險公司把職工從事的所有崗位共分為A、B、C三類工種，根據(jù)歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計出三類工種的每賠付頻率如下表（并以此估計賠付概率）．

工種類別	A	B	C
賠付頻率	$\frac{1}{1{0}^{5}}$	$\frac{2}{1{0}^{5}}$	$\frac{1}{1{0}^{4}}$

（Ⅰ）根據(jù)規(guī)定，該產(chǎn)品各工種保單的期望利潤都不得超過保費的20%，試分別確定各類工種每張保單保費的上限；
（Ⅱ）某企業(yè)共有職工20000人，從事三類工種的人數(shù)分布比例如圖，老板準備為全體職工每人購買一份此種保險，并以（Ⅰ）中計算的各類保險上限購買，試估計保險公司在這宗交易中的期望利潤．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)工種A的每份保單保費為a元，設(shè)保險公司每單的收益為隨機變量X，求出X的分布列和保險公司期望收益，根據(jù)規(guī)則a-5≤0.2a，從而a≤6.25元，設(shè)工種B的每份保單保費為b元，求出賠付金期望值為10元，則保險公司期望利潤為b-10元，根據(jù)規(guī)則b-10≤0.2b，解得b≤12.5元，設(shè)工種C的每份保單保費為c元，求出賠付金期望值為50元，則保險公司期望利潤為c-50元，根據(jù)規(guī)則c-50≤0.2c，解得c≤62.5元．
（Ⅱ）購買A類產(chǎn)品的份數(shù)為12000份，購買B類產(chǎn)品的份數(shù)為6000份，購買C類產(chǎn)品的份數(shù)為2000份，由此能求出保險公司在這宗交易中的期望利潤．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)工種A的每份保單保費為a元，設(shè)保險公司每單的收益為隨機變量X，
則X的分布列為：

X	a	a-50×104
P	1-$\frac{1}{1{0}^{5}}$	$\frac{1}{1{0}^{5}}$

保險公司期望收益為$EX=a（{1-\frac{1}{{{{10}^5}}}}）+$$（{a-50×{{10}^4}}）×\frac{1}{{{{10}^5}}}$=a-5
根據(jù)規(guī)則a-5≤0.2a
解得a≤6.25元，
設(shè)工種B的每份保單保費為b元，賠付金期望值為$\frac{{50×{{10}^4}×2}}{{{{10}^5}}}=10$元，
則保險公司期望利潤為b-10元，根據(jù)規(guī)則b-10≤0.2b，解得b≤12.5元，
設(shè)工種C的每份保單保費為c元，賠付金期望值為$\frac{{50×{{10}^4}}}{{{{10}^4}}}=50$元，
則保險公司期望利潤為c-50元，根據(jù)規(guī)則c-50≤0.2c，解得c≤62.5元．
（Ⅱ）購買A類產(chǎn)品的份數(shù)為20000×60%=12000份，
購買B類產(chǎn)品的份數(shù)為20000×30%=6000份，
購買C類產(chǎn)品的份數(shù)為20000×10%=2000份，
企業(yè)支付的總保費為12000×6.25+6000×12.5+2000×62.5=275000元，
保險公司在這宗交易中的期望利潤為275000×20%=55000元．

點評 本題考查概率的求法及應(yīng)用，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法及應(yīng)用，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．