Question

20．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{16}$=1右支上一點(diǎn)P到左、右焦點(diǎn)的距離之差為6，P到左準(zhǔn)線的距離為$\frac{34}{5}$，則P到右焦點(diǎn)的距離為（　　）

• A． $\frac{34}{3}$
• B． $\frac{16}{3}$
• C． $\frac{34}{5}$
• D． $\frac{16}{5}$

Answer 1

分析 由題意可知：丨PF₁丨-丨PF₂丨=6，則a=3，由c=$\sqrt{9+16}$=5，求得雙曲線的準(zhǔn)線方程為 x=±$\frac{{a}^{2}}{c}$=±$\frac{9}{5}$，點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離為$\frac{34}{5}$-$\frac{9}{5}$×2=$\frac{16}{5}$，根據(jù)雙曲線的第二定義，點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離為d=$\frac{16}{5}$e，即可求得P到右焦點(diǎn)的距離．

解答 解：由題意可知：雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{16}$=1焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，
則丨PF₁丨-丨PF₂丨=6，即2a=6，則a=3，
由c=$\sqrt{9+16}$=5，雙曲線的準(zhǔn)線方程為 x=±$\frac{{a}^{2}}{c}$=±$\frac{9}{5}$，
點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離為$\frac{34}{5}$-$\frac{9}{5}$×2=$\frac{16}{5}$，
由雙曲線的第二定義，點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離為d=$\frac{16}{5}$e=$\frac{16}{5}$×$\frac{5}{3}$=$\frac{16}{3}$，
故P到右焦點(diǎn)的距離$\frac{16}{3}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，雙曲線的第二定義，考查雙曲線準(zhǔn)線方程，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．