18.在△ABC中,邊a,b,c分別是內(nèi)角A,B,C所對的邊,且滿足2sinB=sinA+sinC,設(shè)B的最大值為B0
(1)求B0的值;
(2)當(dāng)B=B0,a=1,c=3,D為AC的中點(diǎn)時(shí),求BD的長.

分析 (1)由已知結(jié)合正弦定理把角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系,再由余弦定理求得B0的值;
(2)由已知結(jié)合余弦定理求得cosC的值,進(jìn)而利用余弦定理即可解得BD的值.

解答 解:(1)由題設(shè)及正弦定理知,2b=a+c,即b=$\frac{a+c}{2}$.
由余弦定理知,cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-(\frac{a+c}{2})^{2}}{2ac}$=$\frac{3({a}^{2}+{c}^{2})-2ac}{8ac}$≥$\frac{3(2ac)-2ac}{8ac}$=$\frac{1}{2}$,
∵y=cosx在(0,π)上單調(diào)遞減,
∴B的最大值B0=$\frac{π}{3}$;
(2)∵B=B0=$\frac{π}{3}$,a=1,c=3,
∴在三角形ABC中,b2=a2+c2-2accosB=7,
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=-$\frac{\sqrt{7}}{14}$,
∴在三角形BCD中,BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}-2•BC•CD•cosC}$=$\sqrt{{1}^{2}+(\frac{\sqrt{7}}{2})^{2}-2×1×\frac{\sqrt{7}}{2}×(-\frac{\sqrt{7}}{14})}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形的解法,考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,是中檔題.

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②函數(shù)f(x)=cos(sinx)的最小正周期為π;
③在△ABC中,|$\overrightarrow{AC}$|=3,|$\overrightarrow{BC}$|=4,|$\overrightarrow{AB}$|=5,則$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=16;
④函數(shù)f(x)=tan(2x-$\frac{π}{3}$)的一個(gè)對稱中心為($\frac{5π}{12}$,0);
其中正確命題的序號(hào)為①②④.

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