16.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D是AB的中點(diǎn).
(1)求證:BC1∥平面A1CD;
(2)若AC=CD,求證A1D⊥CD.

分析 (1)如圖,連接AC1,交A1C于點(diǎn)O,連結(jié)OD,證明:BC1∥OD,即可證明BC1∥平面A1CD;
(2)若AC=CD,證明CD⊥平面ABB1A1,即可證明A1D⊥CD.

解答 證明:(1)如圖,連接AC1,交A1C于點(diǎn)O,連結(jié)OD.
據(jù)直三棱柱性質(zhì)可知四邊形ACC1A1為平行四邊形,所以O(shè)為A1C的中點(diǎn).
又因?yàn)镈是AB的中點(diǎn),所以BC1∥OD.…(2分)
又因?yàn)锽C1?平面A1CD,OD?平面A1CD,
所以BC1∥平面A1CD.…(4分)
(2)因?yàn)锳C=BC,D為AB中點(diǎn),所以CD⊥AB.…(5分)
據(jù)直三棱柱ABC-A1B1C1性質(zhì)知AA1⊥平面ABC.
又因?yàn)镃D?平面ABC,所以AA1⊥CD.
又因AA1∩AB=A,AA1,AB?平面ABB1A1,
所以CD⊥平面ABB1A1,…(11分)
又因?yàn)锳1D?平面ABB1A1,所以CD⊥A1D,即A1D⊥CD.…(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的判定,考查線面垂直的判定與性質(zhì),考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力,屬于中檔題.

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①函數(shù)f(x)=2x滿足:對(duì)任意x1,x2∈R且x1≠x2都有$f(\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2})<\frac{{f({x_1})+f({x_2})}}{2}$;
②函數(shù)$f(x)={log_2}(x+\sqrt{1+{x^2}})$,g(x)=1+$\frac{2}{{{2^x}-1}}$不都是奇函數(shù);
③若函數(shù)f(x)滿足f(x-1)=-f(x+1),且f(1)=2,則f(7)=-2
④設(shè)x1,x2是關(guān)于x的方程|logax|=k(a>0且a≠1)的兩根,則x1x2=1.
其中正確命題的序號(hào)是( 。
A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

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A.(-∞,1]B.$({-∞,\frac{1}{2}}]$C.$[{\frac{1}{2},\frac{3}{2}}]$D.$[{\frac{3}{2},+∞})$

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11.設(shè)f(x)=3ax2+2bx+c,若a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0.
(1)證明:a>0且$-2<\frac{a}<-1$;
(2)試判斷函數(shù)f(x)在(0,1)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),并說(shuō)明理由.

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戶數(shù)51510155
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