Question

14．已知函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)，且在（0，+∞）上有f'（x）＞0，若f（-1）=0，那么關(guān)于x的不等式xf（x）＜0的解集是（-1，0）∪（0，1）．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，可得函數(shù)f（x）在（0，+∞）為增函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的奇偶性可得f（x）在（-∞，0）上也為增函數(shù)，且f（1）=-f（-1）=0；由不等式的性質(zhì)可得xf（x）＜0⇒$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＜0=f（1）}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x）＞0=f（-1）}\end{array}\right.$，解可得x的取值范圍，即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上有f'（x）＞0，則函數(shù)在（0，+∞）為增函數(shù)，
又由函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)，則函數(shù)f（x）在（-∞，0）上也為增函數(shù)；
且f（1）=-f（-1）=0
當(dāng)x＞0時，xf（x）＜0⇒$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＜0=f（1）}\end{array}\right.$，則有0＜x＜1，即（0，1），
當(dāng)x＜0時，xf（x）＜0⇒$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x）＞0=f（-1）}\end{array}\right.$，則有-1＜x＜0，即（-1，0），
綜合可得：xf（x）＜0的解集為：（-1，0）∪（0，1）；
故答案為：（-1，0）∪（0，1）．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，涉及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，關(guān)鍵是利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)進(jìn)行分類討論．