Question

3．已知遞增的等差數(shù)列{a_n}，首項a₁=2，S_n為其前n項和，且2S₁，2S₂，3S₃成等比數(shù)列．
（I）求{a_n}的通項公式；
（II）設(shè)${b_n}=\frac{4}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，若數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，且${T_n}＜\frac{m}{5}$（m為正整數(shù)）恒成立，求m的最小值．

Answer 1

分析 （I）設(shè)遞增的等差數(shù)列{a_n}的公差為d＞0，首項a₁=2，S_n為其前n項和，且2S₁，2S₂，3S₃成等比數(shù)列．可得$（2{S}_{2}）^{2}$=2S₁•3S₃，即4（4+d）²=4×3$（6+\frac{3×2}{2}d）$，d＞0，解得d．
（II）${b_n}=\frac{4}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，可得${T_n}=1-\frac{1}{n+1}$，因此$\frac{m}{5}$＞1-$\frac{1}{n+1}$恒成立，解得m的最小值．

解答 解：（I）設(shè)遞增的等差數(shù)列{a_n}的公差為d＞0，
∵首項a₁=2，S_n為其前n項和，且2S₁，2S₂，3S₃成等比數(shù)列．
∴$（2{S}_{2}）^{2}$=2S₁•3S₃，即4（4+d）²=4×3$（6+\frac{3×2}{2}d）$，d＞0，解得d=2，
∴a_n=2+2（n-1）=2n．
（II）∵${b_n}=\frac{4}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴T_n=$（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$
=1-$\frac{1}{n+1}$．
∴T_n=1-$\frac{1}{n+1}$，
∴$\frac{m}{5}$＞1-$\frac{1}{n+1}$恒成立，∴$\frac{m}{5}≥$1，即m≥5．
即m的最小值是5．

點評 本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式、裂項求和方法、等價轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．