Question

16．已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=2a_n-2ⁿ+1（n∈N^*），則其通項公式a_n=n•2^n-1．

Answer 1

分析 當n=1時，可求得a₁=1；當n≥2時，利用a_n=S_n-S_n-1可得$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=$\frac{1}{2}$，從而可判定數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以$\frac{1}{2}$為首項，$\frac{1}{2}$為公差的等差數(shù)列，可求得a_n．

解答 解：①當n=1時，a₁=2a₁-2+1，則a₁=1；
②當n≥2時，S_n-1=2a_n-1-2^n-1+1，S_n-S_n-1=（2a_n-2ⁿ+1）-（2a_n-1-2^n-1+1）=2a_n-2a_n-1-2^n-1=a_n，
即a_n-2a_n-1=2^n-1，
變形為：$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=$\frac{1}{2}$，
故數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以$\frac{1}{2}$為首項，$\frac{1}{2}$為公差的等差數(shù)列，
所以，$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{n}{2}$，
所以a_n=n•2^n-1，
故答案為：n•2^n-1．

點評 本題考查數(shù)列遞推式的應用，確定出數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以$\frac{1}{2}$為首項，$\frac{1}{2}$為公差的等差數(shù)列是關(guān)鍵，考查推理與運算能力，屬于中檔題．