Question

6．設a=${∫}_{0}^{{e}^{2}-1}$$\frac{1}{x+1}$dx，則二項式（x²-$\frac{a}{x}$）⁹的展開式中常數項為5376．

Answer 1

分析 利用定積分求出a的值，再利用二項式展開式的通項公式求出常數項即可．

解答 解：a=${∫}_{0}^{{e}^{2}-1}$$\frac{1}{x+1}$dx=ln（x+1）${|}_{0}^{{e}^{2}-1}$=lne²-ln1=2，
∴二項式（x²-$\frac{a}{x}$）⁹展開式的通項公式為
T_r+1=${C}_{9}^{r}$•（x²）^9-r•${（-\frac{2}{x}）}^{r}$=（-2）^r•${C}_{9}^{r}$•x^18-3r，
令18-3r=0，解得r=6；
∴展開式中的常數項為
（-2）⁶•${C}_{9}^{6}$=64×84=5376．
故答案為：5376．

點評 本題考查了定積分以及二項式展開式的通項公式應用問題，是基礎題目．