Question

6．函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}|{lo{g}_{5}（1-x）|，（x＜1）}\\{-（x-2）^{2}+2，（x＞1，x≠2）}\end{array}\right.$ 且對于方程f（x）²-af（x）+a²-3=0有7個實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是$\sqrt{3}＜a＜2$．

Answer 1

分析 若方程f（x）²-af（x）+a²-3=0有7個實數(shù)根，則方程t²-at+a²-3=0有兩個實數(shù)根，一個在區(qū)間（0，1]上，一個在區(qū)間（1，2）上，解得答案．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}|{lo{g}_{5}（1-x）|，（x＜1）}\\{-（x-2）^{2}+2，（x＞1，x≠2）}\end{array}\right.$ 的圖象如下圖所示：

由圖可得：當t∈（-∞，0）時，方程f（x）=t有一個根，
當t=0時，方程f（x）=t有兩個根，
當t∈（0，1]時，方程f（x）=t有三個根，
當t∈（1，2）時，方程f（x）=t有四個根，
當t∈（2，+∞）時，方程f（x）=t有兩個根，
若方程f（x）²-af（x）+a²-3=0有7個實數(shù)根，
則方程t²-at+a²-3=0有兩個實數(shù)根，
一個在區(qū)間（0，1]上，一個在區(qū)間（1，2）上，
令g（t）=t²-at+a²-3，
$\left\{\begin{array}{l}g（0）={a}^{2}-3＞0\\ g（1）={a}^{2}-a-2＜0\\ g（2）={a}^{2}-2a+1＞0\end{array}\right.$
解得：$\sqrt{3}＜a＜2$．
故答案為：$\sqrt{3}＜a＜2$．

點評 本題考查的知識點是根的存在性及個數(shù)判斷，數(shù)形結合思想，轉化思想，難度中檔．