Question

9．在正三棱錐P-ABC中，底面正△ABC的中心為O，D是PA的中點，PO=AB=2，則PB與平面BDC所成角的正弦值為$\frac{3\sqrt{21}}{28}$．

Answer 1

分析 由于圖形中已經(jīng)出現(xiàn)了垂直于底面的高線，可以利用空間向量的方法求解直線與平面所成的夾角，以O(shè)為坐標(biāo)原點，OA為x軸，OP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出所用點的坐標(biāo)，進(jìn)一步求出平面BDC的一個法向量，可得$\overrightarrow{PB}$和$\overrightarrow{n}$所成的角的余弦值，則答案可求．

解答 解：以O(shè)為坐標(biāo)原點，OA為x軸，OP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
∵△ABC是正三角形，故y軸平行于BC，而PO=AB=2，
則P（0，0，2），A（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0，0），B（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1，0），C（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，-1，0），
D是PA的中點，故D（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0，1），則$\overrightarrow{BC}$=（0，-2，0），$\overrightarrow{BD}$=（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，-1，1），
設(shè)$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面BDC的一個法向量，則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=\frac{2\sqrt{3}}{3}x-y+z=0}\end{array}\right.$，
取x=$\sqrt{3}$，則y=0，z=-2，
∴平面BDC的一個法向量是$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，0，-2），
$\overrightarrow{PB}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1，-2），
∴cos＜$\overrightarrow{PB}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{-1+0+4}{\sqrt{7}•\sqrt{\frac{1}{3}+1+4}}$=$\frac{3\sqrt{21}}{28}$，
由于$\overrightarrow{PB}$和$\overrightarrow{n}$所成的角與PB與平面BDC所成角互余，
∴PB與平面BDC所成角的正弦值為$\frac{3\sqrt{21}}{28}$．
故答案為：$\frac{3\sqrt{21}}{28}$．

點評 本題主要考查了直線與平面之間所成角，考查空間想象能力，訓(xùn)練了利用空間向量求線面角，是中檔題．