Question

7．設(shè)函數(shù)f（x）=|2x+1|+|2x-2|．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅱ）若f（x）＜ax+1有解，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用絕對值不等式的幾何意義求解即可．
（Ⅱ）去掉絕對值符號，利用數(shù)形結(jié)合，以及直線系方程，轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 （本小題滿分10分）
解：（Ⅰ）由不等式的性質(zhì)可得：|2x+1|+|2x-2|≥|2x+1-2x+2|=3，
所以當且僅當$-\frac{1}{2}≤x≤1$時，函數(shù)f（x）的最小值為3．…（5分）
（Ⅱ）$f（x）=|{2x+1}|+|{2x-2}|=\left\{\begin{array}{l}4x-1（{x≥1}）\\ 3（{-\frac{1}{2}＜x＜1}）\\ 1-4x（{x≤-\frac{1}{2}，}）\end{array}\right.$…（7分）
又函數(shù)y=ax+1恒過定點（0，1），
結(jié)合函數(shù)圖象可得：a＜-4或a＞2．…（10分）

點評 本題考查函數(shù)的最值的求法，數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，直線系方程的應(yīng)用，絕對值不等式的幾何意義，考查計算能力．