Question

15．函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-3x+2lnx，求函數(shù)f（x）在[1，e]上的最值．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導數(shù)，解關(guān)于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)在閉區(qū)間的最大值和最小值即可．

解答 解：由f（x）=$\frac{1}{2}$x²-3x+2lnx可得，
f′（x）=x+$\frac{2}{x}$-3=$\frac{（x-1）（x-2）}{x}$，
當x∈（1，2）時，f′（x）＜0，
∴f（x）在[1，2]上是減函數(shù)；
當x∈（2，e）時，f′（x）＞0，
∴f（x）在[2，e]上是增函數(shù)，
∴當x=2時，f（x）_min=f（2）=2ln2-4，
又f（1）=-$\frac{5}{2}$，f（e）=$\frac{1}{2}$e²-3e+2，
f（e）-f（1）=$\frac{1}{2}$e²-3e+2-（-$\frac{5}{2}$）=$\frac{1}{2}$（e²-6e+9）=$\frac{1}{2}$（e-3）²＞0，
∴f（e）＞f（1），
∴f（x）_max=f（e）=$\frac{1}{2}$e²-3e+2，
綜上，函數(shù)f（x）在[1，e]上的最大值為$\frac{1}{2}$e²-3e+2，最小值為2ln2-4．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．