【題目】已知數(shù)列滿足,且
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)求數(shù)列的前項和;
(3)若,求證
【答案】(1)(2)(3)見解析
【解析】
(1)數(shù)列{an}滿足3(n+1)an=nan+1(n∈N*),且a1=3,可得,利用“累乘求積”方法即可得出.
(2)利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出.
(3),可得.利用“裂項求和方法”與數(shù)列的單調(diào)性即可得出.
(1)解:∵數(shù)列{an}滿足3(n+1)an=nan+1(n∈N*),且a1=3,∴,
∴an…3n﹣13=n3n.
(2)解:數(shù)列{an}的前n項和Sn=3+2×32+3×33+…+n3n,
3Sn=32+2×33+…+(n﹣1)3n+n3n+1,
∴﹣2Sn=3+32+…+3n﹣n3n+1n3n+1,
∴Sn3n+1.
(3),∴.
∴
1∈.
∴1.
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【題目】已知,.
(1)若,命題“p∨q”為真,求實數(shù)的取值范圍;
(2)若是 的必要不充分條件,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)設(shè),曲線在點處的切線在軸上的截距為,求的最小值;
(Ⅱ)若只有一個零點,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知,為兩個不同的平面,,為兩條不同的直線,有以下命題:
①若,,則.②若,,則.③若,,則.④若,,,則.
其中真命題有()
A.①②B.①③C.②③D.③④
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【題目】某工廠生產(chǎn)一種儀器的元件,由于受生產(chǎn)能力和技術(shù)水平的限制,會產(chǎn)生一些次品,根據(jù)經(jīng)驗知道,其次品率與日產(chǎn)量(萬件)之間滿足關(guān)系:()已知每生產(chǎn)1萬件合格的儀器可以盈利2萬元,但每生產(chǎn)1萬件次品將虧損1萬元,故廠方希望定出合適的日產(chǎn)量.(注:次品率=次品數(shù)/生產(chǎn)量)
(1)試將生產(chǎn)這種儀器元件每天的盈利額(萬元)表示為日產(chǎn)量(萬件)的函數(shù);
(2)當(dāng)日產(chǎn)量為多少時,可獲得最大利潤?
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【題目】已知函數(shù),,.
當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,并求出其極值;
若函數(shù)存在兩個零點,求k的取值范圍.
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【題目】在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,軸的非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為.
(1)求直線和曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(2)若點P為曲線C上任一點,求點P到直線的距離的最大值,并求此時點P的坐標(biāo).
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【題目】某高校為了解即將畢業(yè)的男大學(xué)生的身體狀況檢測了960名男大學(xué)生的體重(單位:),所得數(shù)據(jù)都在區(qū)間中,其頻率分布直方圖如圖所示.圖中從左到右的前3個小組的頻率之比為.
(1)求這960名男大學(xué)生中,體重小于的男大學(xué)生的人數(shù);
(2)從體重在范圍的男大學(xué)生中用分層抽樣的方法選取6名,再從這6名男大學(xué)生中隨機選取2名,記“至少有一名男大學(xué)生體重大于”為事件,求事件發(fā)生的概率.
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